Esboce a curva em coordenadas polares:
r-2=2 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r - 2 = 2\cos\theta.
O conteúdo é “gráficos em coordenadas polares” e vamos usar a forma geral de uma limaçon do tipo \;r = a + b\cos\theta,
analisar simetria e calcular pontos notáveis para depois traçar o esboço.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando r, temos
r = 2 + 2\cos\theta = 2\bigl(1+\cos\theta\bigr).
Comparando com r=a+b\cos\theta, vemos que a=b=2. No caso a=b a curva é um cardióide que tem um “cusp” (ponta) no polo.

Passo 3

Como a dependência é em \cos\theta, a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( \theta=0, correspondente ao eixo x positivo no plano cartesiano).

Passo 4

Vamos calcular alguns pontos-chave:
\begin{aligned} \theta &= 0: &r &= 2 + 2\cdot1 = 4,\\\ \theta &= \tfrac\pi2: &r &= 2 + 2\cdot0 = 2,\\\ \theta &= \pi: &r &= 2 + 2\cdot(-1) = 0\quad(\text{cusp no polo}),\\\ \theta &= \tfrac{3\pi}2: &r &= 2 + 2\cdot0 = 2. \end{aligned}
Além disso, r(\theta)\ge0 para todo \theta, então não há laços internos ou partes traçadas “para trás”.

Passo 5

Com os pontos e a simetria em mãos, traçamos:
  • No eixo polar à direita \theta=0, a curva atinge r=4.
  • Conforme \theta vai de 0 a \pi, r decresce suavemente até zero em \pi, formando o cusp no polo.
  • Para \theta de \pi a 2\pi, percorre-se novamente a outra metade de forma simétrica.
O resultado é um cardióide com “bulbo” à direita do polo e cusp no polo, simétrico em torno do eixo \theta=0.

Resposta

A curva é um cardióide de equação
r = 2\bigl(1+\cos\theta\bigr),
simétrica em relação ao eixo polar, com ponto mais distante r=4 em \theta=0 e cusp no polo em \theta=\pi.

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