Esboce a curva em coordenadas polares:
r=3 \operatorname{sen}(2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva em coordenadas polares dada por
r = 3\operatorname{sen}(2\theta).
O conteúdo é o estudo de “rosas” em coordenadas polares, isto é, equações do tipo r = a\operatorname{sen}(n\theta) ou r = a\cos(n\theta). Para esboçar, precisamos identificar onde a curva zera r=0, onde atinge valores máximos e mínimos, e a simetria.

Passo 2

Encontrar os zeros de r. Como
r=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}(2\theta)=0
temos
2\theta = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\
\theta = \frac{k\pi}{2}.
Logo, em \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi o raio passa pela origem, marcando as fronteiras das pétalas.

Passo 3

Determinar os extremos de r. O valor máximo ocorre quando \operatorname{sen}(2\theta)=1, ou seja,
2\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi.
Nesses valores temos r_{\max}=3. O valor mínimo r_{\min}=-3 ocorre quando \operatorname{sen}(2\theta)=-1, i.e.
2\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\
\theta = \frac{3\pi}{4} + k\pi.

Passo 4

Concluir o número de pétalas. Para r=a\operatorname{sen}(n\theta) com n inteiro par, a rosa tem 2n pétalas. Aqui n=2, logo existem 4 pétalas de comprimento 3.

Passo 5

Localizar e desenhar as pétalas:
  1. Em \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4} temos r=+3, formando duas pétalas reais nesses sentidos.
  2. Os valores negativos de r (quando \theta=\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}) geram outras duas pétalas, pois apontam na direção oposta do vetor polar.
  3. As pétalas estão centradas nos ângulos \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}, cada uma de comprimento 3, e se fecham suavemente passando pela origem nos zeros \theta=k\pi/2.

Resposta

A curva é uma rosa de 4 pétalas de comprimento 3, com pétalas apontando aos ângulos \theta = 45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ.

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