Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares
O conteúdo aqui é o estudo de “rosas” em coordenadas polares, em que equações da forma
geram curvas com
pétalas se
for ímpar, ou
pétalas se
for par. Para resolver, vamos:
- identificar onde
, - achar máximos e mínimos de
, - contar e localizar as pétalas,
- usar simetrias para esboçar.
Passo 2
Para encontrar os zeros de
, resolvemos
para
. Assim, em cada múltiplo de
a curva passa pela origem.
Passo 3
Os valores máximos de
ocorrem quando
dando
.
Os mínimos (mais baixo valor de ) ocorrem quando
, gerando
, o que em coordenadas polares corresponde a um ponto com
porém no ângulo
.
Os mínimos (mais baixo valor de
Passo 4
Como o coeficiente de
é
(número par), a rosa terá
pétalas. Os “centros” dessas pétalas são dados pelos ângulos onde
é máximo, isto é,
com comprimento máximo de cada pétala igual a
.
Passo 5
Para esboçar:
- desenhe um sistema de coordenadas polares com raios em múltiplos de
. - marque os pontos de cada pétala a distância
nos ângulos listados. - una suavemente cada ponto ao polo (origem), passando pela origem nos zeros
. - observe que a curva é simétrica por rotação de
e também espelhada nos eixos principais.
Resposta
A curva é uma rosa de oito pétalas de comprimento máximo
, cujas pétalas estão centradas nos ângulos