Esboce a curva em coordenadas polares:
r=9 \operatorname{sen}(4\Theta)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares
r = 9 \sin\bigl(4\theta\bigr).
O conteúdo aqui é o estudo de “rosas” em coordenadas polares, em que equações da forma r = a\sin(n\theta) geram curvas com n pétalas se n for ímpar, ou 2n pétalas se n for par. Para resolver, vamos:
  1. identificar onde r=0,
  2. achar máximos e mínimos de r,
  3. contar e localizar as pétalas,
  4. usar simetrias para esboçar.

Passo 2

Para encontrar os zeros de r, resolvemos
\sin\bigl(4\theta\bigr)=0
4\theta = k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{k\pi}{4},
para k\in\mathbb{Z}. Assim, em cada múltiplo de \pi/4 a curva passa pela origem.

Passo 3

Os valores máximos de r ocorrem quando
\sin\bigl(4\theta\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad 4\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\,k,
dando r_{\max}=9.
Os mínimos (mais baixo valor de r) ocorrem quando \sin(4\theta)=-1, gerando r=-9, o que em coordenadas polares corresponde a um ponto com r=9 porém no ângulo \theta+\pi.

Passo 4

Como o coeficiente de \theta é 4 (número par), a rosa terá 2n=8 pétalas. Os “centros” dessas pétalas são dados pelos ângulos onde \lvert r\vert é máximo, isto é,
\theta = \frac{\pi}{8},\;\frac{3\pi}{8},\;\frac{5\pi}{8},\;\frac{7\pi}{8}, \;\frac{9\pi}{8},\;\frac{11\pi}{8},\;\frac{13\pi}{8},\;\frac{15\pi}{8},
com comprimento máximo de cada pétala igual a 9.

Passo 5

Para esboçar:
  1. desenhe um sistema de coordenadas polares com raios em múltiplos de \pi/8.
  2. marque os pontos de cada pétala a distância r=9 nos ângulos listados.
  3. una suavemente cada ponto ao polo (origem), passando pela origem nos zeros \theta=k\pi/4.
  4. observe que a curva é simétrica por rotação de \pi/4 e também espelhada nos eixos principais.

Resposta

A curva é uma rosa de oito pétalas de comprimento máximo 9, cujas pétalas estão centradas nos ângulos
\theta = \frac{\pi}{8},\;\frac{3\pi}{8},\;\dots,\;\frac{15\pi}{8}.

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