Esboce a curva dada em coordenadas polares:
r=cos theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por r=costheta.
Conteúdo da matéria: curvas em coordenadas polares; conversão para coordenadas cartesianas usando
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2 = x^2+y^2
e reconhecimento de conicidade (no caso, circunferência).

Passo 2

Determinar para quais valores de theta a curva existe com r>=0.
Como r=costheta, exige-se
costheta>=0
o que ocorre em
-tfracpi2<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Converter a expressão polar em equação cartesiana.
Partindo de r=costheta, multiplica-se ambos os lados por r:
r^2 = rcostheta
Substituindo r^2 = x^2+y^2 e rcostheta = x, obtém-se
x^2 + y^2 = x

Passo 4

Colocar em forma de circunferência, completando o quadrado em x:
x^2 - x + y^2 = 0 Longrightarrow l(x-tfrac12r)^2 + y^2 = l(tfrac12r)^2
Portanto é uma circunferência de centro l(tfrac12,0r) e raio tfrac12. Note que como r>=0 e thetain[-tfracpi2,tfracpi2], toda essa circunferência (que fica no semiplano x>=0) é percorrida uma vez, começando em (0,0) para theta=-tfracpi2, atingindo (1,0) em theta=0 e voltando a (0,0) em theta=tfracpi2.

Passo 5

Esboço da curva:
– Uma circunferência de raio tfrac12, centro em l(tfrac12,0r).
– Toque no polo (origem) em theta=-tfracpi2 e theta=tfracpi2.
– Ponto mais afastado do polo em (1,0) quando theta=0.

Resposta

A curva é a circunferência de equação
l(x-tfrac12r)^2 + y^2 = l(tfrac12r)^2
traçada para -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2.

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