Repita o argumento anterior para mostrar que a média geométrica é sempre menor ou igual a média aritmética, isto é, se x1 >= 0, ldots, xn >= 0, então
(x1 ldots xn)^1n <= 1n(x1+ldots+xn)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para x1,dots,xn>=0, vale
l(x1cdots xnr)^1n<=1nl(x1+cdots+xnr)
O conteúdo usado será a concavidade da função log e a desigualdade de Jensen.

Passo 2

Se algum xi=0, então l(prod xir)^1/n=0 e 1nsum xi>=0, logo a desigualdade é trivial. Podemos assumir xi>0 para todo i.

Passo 3

Definimos a média aritmética
A=1nsumi=1^nxi
e normalizamos
yi=xiA
Então 1nsumi=1^nyi=1 e
l(prodi=1^nxir)^1n = A,l(prodi=1^nyir)^1n

Passo 4

Como log t é côncava em R+, a desigualdade de Jensen dá
logl(1nsumi=1^nyir) >= 1nsumi=1^nlog yi
Mas 1nsum yi=1, então
0=log1>=1nsumi=1^nlog yi Longrightarrow sumi=1^nlog yi<=0 Longrightarrow prodi=1^nyi<=1

Passo 5

Substituindo de volta,
l(prodi=1^nxir)^1n = A,l(prodi=1^nyir)^1n <= A = 1nsumi=1^nxi,
que é exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

l(x1cdots xnr)^1n<=1nl(x1+cdots+xnr)

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