Repita o argumento anterior para mostrar que a média geométrica é sempre menor ou igual a média aritmética, isto é, se
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
, vale
O conteúdo usado será a concavidade da função
e a desigualdade de Jensen.
Passo 2
Se algum
, então
e
, logo a desigualdade é trivial. Podemos assumir
para todo
.
Passo 3
Definimos a média aritmética
e normalizamos
Então
e
Passo 4
Como
é côncava em
, a desigualdade de Jensen dá
Mas
, então
Passo 5
Substituindo de volta,
que é exatamente a desigualdade desejada.