Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções abaixo, calculando os limites necessários:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
determinando seu domínio, limites principais, intervalos de crescimento/decrescimento (via
), concavidade e pontos de inflexão (via
), e por fim esboçar qualitativamente o gráfico.
Passo 2
O domínio é
. Calculamos os limites nos pontos críticos do domínio:
Passo 3
Calculamos a derivada primeira:
Para achar pontos críticos, resolvemos
:
Passo 4
Estudamos o sinal de
em cada intervalo do domínio:
Para temos
, logo
em
.
Para o sinal de
é o de
, ou seja é negativo em
e positivo em
.
Portanto é decrescente em
e em
, e crescente em
.
Para
Para
Portanto
Passo 5
Calculamos a derivada segunda:
Para pontos de inflexão, resolvemos
Passo 6
Estudamos o sinal de
:
Se então
e
.
Se , escreva
; para
temos
e
, enquanto para
temos
e
.
Logo, é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Se
Se
Logo,
Passo 7
O ponto de inflexão ocorre em
. Seu valor é
Além disso, há um mínimo relativo em
; o valor mínimo é
Passo 8
Esboço qualitativo:
— Há assíntota vertical em (ramo direito vai a
e ramo esquerdo a
).
— Para ,
.
— A curva decresce desde em
, passa pelo ponto de inflexão
, continua decrescendo até
.
— Do lado positivo, sai de em
, decresce até o mínimo
e depois cresce para
.
— Há assíntota vertical em
— Para
— A curva decresce desde
— Do lado positivo, sai de
Resposta
Domínio:
.
Crescimento: .
Decrescimento: e
.
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Ponto de inflexão: .
Mínimo relativo: .
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão:
Mínimo relativo: