Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções abaixo, calculando os limites necessários:
(e) f(x)=x^2+1x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=x^2+1x,
determinando seu domínio, limites principais, intervalos de crescimento/decrescimento (via f'), concavidade e pontos de inflexão (via f''), e por fim esboçar qualitativamente o gráfico.

Passo 2

O domínio é xneq0. Calculamos os limites nos pontos críticos do domínio:
limxto0^+f(x)=limxto0^+l(x^2+tfrac1xr)=+infty,
limxto0^-f(x)=limxto0^-l(x^2+tfrac1xr)=-infty,
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=+infty

Passo 3

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=2x-1x^2
Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
2x-1x^2=0;Longrightarrow;2x^3-1=0;Longrightarrow;x=raiz[,3]tfrac12=2^-1/3

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo do domínio:
Para x<0 temos 2x^3-1<0, logo f'(x)<0 em (-infty,0).
Para x>0 o sinal de f' é o de 2x^3-1, ou seja é negativo em 0<x<2^-1/3 e positivo em x>2^-1/3.
Portanto f é decrescente em (-infty,0) e em l(0,2^-1/3r), e crescente em l(2^-1/3,+inftyl).

Passo 5

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=2+2x^3
Para pontos de inflexão, resolvemos
2+2x^3=0;Longrightarrow;1+1x^3=0;Longrightarrow;x^3=-1;Longrightarrow;x=-1

Passo 6

Estudamos o sinal de f''(x):
Se x>0 então x^-3>0 e f''(x)>0.
Se x<0, escreva f''(x)=2l(1+x^-3r); para -infty<x<-1 temos x^-3>-1 e f''>0, enquanto para -1<x<0 temos x^-3< -1 e f''<0.
Logo, f é côncava para cima em (-infty,-1)cup(0,+infty) e côncava para baixo em (-1,0).

Passo 7

O ponto de inflexão ocorre em x=-1. Seu valor é
f(-1)=(-1)^2+1-1=1-1=0
Além disso, há um mínimo relativo em x=2^-1/3; o valor mínimo é
fl(2^-1/3r)=2^-2/3+2^1/3=3cdot2^-2/3

Passo 8

Esboço qualitativo:
— Há assíntota vertical em x=0 (ramo direito vai a +infty e ramo esquerdo a -infty).
— Para xtopminfty, f(x)to+infty.
— A curva decresce desde +infty em x=-infty, passa pelo ponto de inflexão (-1,0), continua decrescendo até (0,-infty).
— Do lado positivo, sai de +infty em x=0^+, decresce até o mínimo l(2^-1/3,3cdot2^-2/3r) e depois cresce para +infty.

Resposta

Domínio: Rsetminus0.
Crescimento: l(2^-1/3,+inftyr).
Decrescimento: (-infty,0) e l(0,2^-1/3r).
Concavidade para cima: (-infty,-1)cup(0,+infty).
Concavidade para baixo: (-1,0).
Ponto de inflexão: l(-1,0r).
Mínimo relativo: l(2^-1/3,3cdot2^-2/3r).

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