Use o resultado do item 3) para mostrar que, se x >= 0, y >= 0 e z >= 0, então
x^2 y^2 z^6 <= 27(x^2+y^2+z^25)^5

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para x>=0, y>=0, z>=0, vale
x^2y^2z^6;<=;27l(tfracx^2+y^2+z^25r)^5,
usando o resultado do item 3), que é a desigualdade da média aritmética–geométrica (AM–GM) para cinco números não negativos.

Passo 2

Definimos cinco números não negativos
a1 = x^2, a2 = y^2, a3=a4=a5=tfracz^23
Então
a1+a2+a3+a4+a5 = x^2+y^2+3cdotz^23 = x^2+y^2+z^2,
e
a1a2a3a4a5 = x^2,y^2,l(tfracz^23r)^3 = x^2y^2z^627

Passo 3

Pela desigualdade AM–GM para cinco termos temos
a1+a2+a3+a4+a55 ;>=; l(a1a2a3a4a5r)^1/5
Substituindo os ai, obtém-se
x^2+y^2+z^25 ;>=; l(tfracx^2y^2z^627r)^1/5

Passo 4

Elevando ambos os lados à quinta potência e multiplicando por 27, resulta
27;l(tfracx^2+y^2+z^25r)^5 ;>=; x^2y^2z^6,
que é exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

A desigualdade
x^2y^2z^6;<=;27l(tfracx^2+y^2+z^25r)^5
está demonstrada.

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