Quais dos seguintes vetores em M2 times 2(R) são combinações lineares de
A=(rr 4 & 0 -2 & -2 ), B=(rr 1 & -1 2 & 3 ) e C=(ll 0 & 2 1 & 4 ) ?
d) (rr-1 & 5 7 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se o vetor dado, que é uma matriz rr-1 & 5 7 & 1, pode ser escrito como uma combinação linear das matrizes xA + yB + zC = (rr-1 & 5 7 & 1) , e . Isso quer dizer que precisamos encontrar números (que a gente pode chamar de , e ) tais que:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear das matrizes x (rr 4 & 0 -2 & -2 ) + y (rr 1 & -1 2 & 3 ) + z (rr 0 & 2 1 & 4 ) = (rr-1 & 5 7 & 1) , (rr 4x & 0 -2x & -2x ) + (rr y & -y 2y & 3y ) + (rr 0 & 2z z & 4z ) = (rr-1 & 5 7 & 1) e (rr 4x + y + 0 & 0 - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z ) = (rr-1 & 5 7 & 1) :
4x + y = -1 -y + 2z = 5 -2x + 2y + z = 7 -2x + 3y + 4z = 1
Vamos realizar as multiplicações e somar as matrizes:
Agora, somamos os elementos correspondentes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
-y + 2z = 5 implies y = 2z - 5
Agora, substituímos 4x + (2z - 5) = -1 implies 4x + 2z = 4 implies 2x + z = 2 (Equação 1) na primeira equação:
-2x + 2(2z - 5) + z = 7 implies -2x + 4z - 10 + z = 7 implies -2x + 5z = 17 (Equação 2) çã
Vamos substituir 2x + z = 2 (Equação 1) -2x + 5z = 17 (Equação 2) na terceira equação:
(2x + z) + (-2x + 5z) = 2 + 17 implies 6z = 19 implies z = 196 çã
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
2x + 196 = 2 implies 2x = 2 - 196 = 126 - 196 = -76 implies x = -712 çãçã
Vamos somar Equação 1 e Equação 2:
y = 2 ( 196 ) - 5 = 386 - 306 = 86 = 43
Agora, substituímos na Equação 1:
E substituímos em :

Resposta

Sim, a matriz rr-1 & 5 7 & 1 é uma combinação linear de x = -712, y = 43, z = 196 , -712A + 43B + 196C = (rr-1 & 5 7 & 1) e com:
Ou seja,

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