Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=2 cos (theta), y=3 sen(theta), theta in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x = 2cos(theta), y = 3sin(theta), thetain[0,2pi]
e pede (a) esboçá-la e (b) eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas: vamos mostrar que é uma elipse, indicar seus pontos principais para o esboço e, em seguida, eliminar theta.

Passo 2

Para eliminar theta, usamos as identidades
x2 = cos(theta), y3 = sin(theta)
Elevando ao quadrado e somando, obtemos
l(x2r)^2 + l(y3r)^2 = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
Portanto, a equação cartesiana é
x^24 + y^29 = 1

Passo 3

Essa é a equação de uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal a=2 e semi-eixo vertical b=3. Para esboçar, basta marcar os pontos extremos
(2,0),;(-2,0),;(0,3),;(0,-3)
e desenhar a curva suave que une esses vértices, simétrica em relação aos eixos x e y.

Resposta

A curva é a elipse dada por
x^24 + y^29 = 1,
com eixos de comprimento 4 (horizontal) e 6 (vertical), centrada na origem.

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