Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=1+t^2, y=3+t

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = 1 + t^2 e y = 3 + t.
Queremos (a) eliminar o parâmetro t para obter a forma cartesiana e (b) esboçar a curva resultante. Para isso, vamos usar álgebra simples para expressar t em função de y e depois identificar o tipo de curva.

Passo 2

Da equação
y = 3 + t
isolamos o parâmetro:
t = y - 3
Substituímos esse valor em
x = 1 + t^2
para eliminar t.

Passo 3

Ao substituir obtemos
x = 1 + (y - 3)^2
Reescrevendo,
x - 1 = (y - 3)^2,
que é a equação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, concavidade para a direita e vértice em (1,3).

Passo 4

Para esboçar essa parábola:
– Marque o vértice no ponto (1,3).
– Como (y-3)^2>=0, a parábola abre para a direita a partir de x=1.
– É simétrica em relação à reta y=3.
– Na orientação paramétrica, quando t cresce, y=3+t sobe e o ponto percorre a parábola de baixo para cima.

Resposta

A equação cartesiana é
x = 1 + (y - 3)^2
Trata-se de uma parábola de vértice em (1,3) aberta para a direita.

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