Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=sen(t), y=-3+2 cos (t)

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=sen(t), y=-3+2cos(t)
e pede duas coisas: (i) eliminar o parâmetro t para obter uma equação cartesiana e (ii) esboçar a curva resultante. Vamos usar a identidade trigonométrica sen^2t+cos^2t=1.

Passo 2

Da primeira equação temos
sen(t)=x,
e da segunda
cos(t)=y+32
Substituímos essas expressões na identidade sen^2t+cos^2t=1.

Passo 3

Aplicando a identidade,
x^2+l(y+32r)^2=1
Esta é a equação cartesiana. Reconhecemos que é a forma padrão de uma elipse centrada em (0,-3) com semi-eixo horizontal a=1 e semi-eixo vertical b=2.

Passo 4

Para esboçar a elipse, marcamos os pontos correspondentes a valores de t notáveis:
t=0:;(x,y)=(0,-1), t=tfracpi2:;(1,-3), t=pi:;(0,-5), t=tfrac3pi2:;(-1,-3)
Ligando esses pontos suavemente, obtemos a elipse de semi-eixos 1 e 2.

Resposta

A equação cartesiana é
x^2+(y+3)^24=1,
que representa uma elipse centrada em (0,-3) com semi-eixos a=1 (horizontal) e b=2 (vertical).

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