Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=sen(t), y=cos (2 t)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x = sin(t), y = cos(2t).
O conteúdo aqui é usar identidades trigonométricas para eliminar o parâmetro t e, em seguida, esboçar a curva resultante.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo para o cosseno:
cos(2t) = 1 - 2sin^2(t)

Passo 3

Como sin(t)=x, substituímos na identidade:
y = cos(2t) = 1 - 2,l(sin(t)r)^2 = 1 - 2x^2
Além disso, como -1 <= sin(t)<= 1, temos -1 <= x <= 1.

Passo 4

A curva cartesiana é um segmento de parábola de concavidade para baixo, com vértice em (0,1) e interceptos em (pm1,-1).
Esboço qualitativo:
  • No eixo x, vai de -1 a 1.
  • No eixo y, atinge o máximo y(0)=1 e o mínimo y(pm1)=-1.

Resposta

A equação cartesiana da curva é
y = 1 - 2x^2, -1 <= x <= 1

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