Esboce a curva definida pela equação polar
e determine a área da região por ela delimitada.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
e calcular a área da região que ela envolve. Vamos usar conceitos de curvas polares e a fórmula de área em coordenadas polares:
Passo 2
Para desenhar a curva, analisamos alguns valores de
em
:
- Em
, e , ponto . - Em
, e , ponto . - Em
, e , ponto . - Em
, e , cuspide na origem.
A curva é simétrica em relação ao eixo vertical () e forma um cardioide com cuspide apontada para baixo. O máximo de é e o mínimo (zero) ocorre em .
Passo 3
Para a área usamos
Passo 4
Expandindo o integrando,
Então
Calculamos separadamente:
Logo o total é
, e
Resposta
O esboço é um cardioide simétrico em relação ao eixo vertical, com cuspide na origem e ponto mais distante em
.
A área da região delimitada por essa curva é .
A área da região delimitada por essa curva é