Esboce a curva definida pela equação polar r=1+\operatorname{sen}(\theta) e determine a área da região por ela delimitada.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r = 1 + \sin(\theta)
e calcular a área da região que ela envolve. Vamos usar conceitos de curvas polares e a fórmula de área em coordenadas polares:
A = \tfrac12 \int_{0}^{2\pi} r^2(\theta)\,d\theta.

Passo 2

Para desenhar a curva, analisamos alguns valores de \theta em [0,2\pi]:
  • Em \theta=0, \sin(0)=0 e r=1, ponto (1,0).
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{2}, \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e r=2, ponto (0,2).
  • Em \theta=\pi, \sin(\pi)=0 e r=1, ponto (-1,0).
  • Em \theta=\tfrac{3\pi}{2}, \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1 e r=0, cuspide na origem.
    A curva é simétrica em relação ao eixo vertical ( \theta=\tfrac{\pi}{2}) e forma um cardioide com cuspide apontada para baixo. O máximo de r é 2 e o mínimo (zero) ocorre em \theta=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 3

Para a área usamos
A = \tfrac12 \int_{0}^{2\pi} \bigl(1 + \sin(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.

Passo 4

Expandindo o integrando,
\bigl(1 + \sin(\theta)\bigr)^{2} = 1 + 2\sin(\theta) + \sin^{2}(\theta).
Então
\int_{0}^{2\pi}\bigl(1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + 2\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi,\quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0,\quad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi.
Logo o total é 2\pi + 0 + \pi = 3\pi, e
A = \tfrac12 \cdot 3\pi = \tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

O esboço é um cardioide simétrico em relação ao eixo vertical, com cuspide na origem e ponto mais distante em (0,2).
A área da região delimitada por essa curva é \displaystyle \tfrac{3\pi}{2}.

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