Calcular a derivada.
f(t)=\sqrt{\frac{2 t+1}{t-1}}\}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\sqrt{\frac{2t+1}{t-1}},
então vamos usar a regra da cadeia (para a raiz) combinada com a regra do quociente (para \frac{2t+1}{t-1}).

Passo 2

Definimos
u(t)=\frac{2t+1}{t-1} \quad\text{e}\quad f(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{1/2}.
Pela regra da cadeia,
f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{u(t)}}\;u'(t).

Passo 3

Agora calculamos u'(t) usando a regra do quociente:
u'(t) =\frac{(2)(t-1)-(2t+1)\cdot1}{(t-1)^2} =\frac{2t-2-2t-1}{(t-1)^2} =\frac{-3}{(t-1)^2}.

Passo 4

Substituindo em f'(t), fica
f'(t) =\frac{1}{2\sqrt{\frac{2t+1}{t-1}}} \cdot\frac{-3}{(t-1)^2} =-\frac{3}{2\,(t-1)^2\;\sqrt{\frac{2t+1}{t-1}}}.
Para simplificar, note que
\displaystyle\sqrt{\frac{2t+1}{t-1}}=\frac{\sqrt{2t+1}}{\sqrt{t-1}},
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f'(t) =-\frac{3}{2\,(t-1)^2}\,\frac{\sqrt{t-1}}{\sqrt{2t+1}} =-\frac{3}{2\,(t-1)^{3/2}\,\sqrt{2t+1}}.

Resposta

f'(t)=-\frac{3}{2\,(t-1)^2\;\sqrt{\frac{2t+1}{t-1}}} \quad\text{ou}\quad f'(t)=-\frac{3}{2\,(t-1)^{3/2}\,\sqrt{2t+1}}.

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