\int_{s} \vec{k} d s \quad \vec{k}=\left(x, 1, z\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\right)
S e^{-}a superprécie do solide x^{2}+y^{2} \leqslant 1 \quad 0 \leqslant z \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo de \vec{k} pela superfície fechada S do sólido definido por
x^{2}+y^{2}\le1,\quad 0\le z\le1.
Aqui o conteúdo é o Teorema da Divergência, pois queremos
\iint_{S}\vec{k}\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência temos
\iint_{S}\vec{k}\cdot\vec{n}\,dS \;=\;\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\vec{k}\bigr)\,dV.
Calculamos
\vec{k}=(x,1,z(x^{2}+y^{2})^{6}) \;\Longrightarrow\; \nabla\cdot\vec{k} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial 1}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}\bigl[z(x^{2}+y^{2})^{6}\bigr] =1+0+(x^{2}+y^{2})^{6}.

Passo 3

Substituindo no integral de volume em coordenadas cilíndricas ( x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dV=r\,dr\,d\theta\,dz), obtemos
\iiint_{V}\bigl(1+(x^{2}+y^{2})^{6}\bigr)\,dV =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\bigl(1+r^{12}\bigr)\,r\,dz\,d\theta\,dr.

Passo 4

Integramos primeiro em z (de 0 a 1), depois em \theta:
\int_{0}^{1}dz=1, \quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Resta o integral em r:
2\pi\int_{0}^{1}\bigl(r+r^{13}\bigr)\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac{1}{2}r^{2}+\tfrac{1}{14}r^{14}\Bigr]_{0}^{1} =2\pi\Bigl(\tfrac12+\tfrac1{14}\Bigr) =2\pi\cdot\tfrac{8}{14} =\tfrac{8\pi}{7}.

Resposta

\frac{8\pi}{7}.

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