Esboce a curva definida pela função vetorial vec{r}(t).
vec{r}(t)=(5 \cos (t), 5 \operatorname{sen}(t), 5)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva no espaço dada pela função vetorial \vec r(t) = \bigl(5\cos t,\;5\operatorname{sen} t,\;5\bigr).
Aqui o conteúdo é curvas paramétricas no espaço: vamos interpretar as componentes x(t), y(t) e z(t) para identificar a forma geométrica.

Passo 2

Observe que as duas primeiras componentes satisfazem
x(t) = 5\cos t, \quad y(t) = 5\operatorname{sen} t
Logo, eliminando o parâmetro, temos
x^2 + y^2 = (5\cos t)^2 + (5\operatorname{sen} t)^2 = 25(\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t) = 25.
Isso mostra que a projeção da curva no plano xy é a circunferência de raio 5 centrada na origem.

Passo 3

A terceira componente é
z(t) = 5
constantemente. Portanto, toda a curva está contida no plano paralelo ao plano xy situado na altura z=5.

Passo 4

Juntando as informações anteriores, concluímos que \vec r(t) descreve uma circunferência de raio 5 no plano z=5, centrada em (0,0,5).

Passo 5

Quanto à orientação, para t variando de 0 a 2\pi o ponto percorre a circunferência no sentido anti-horário quando visto de cima (sentido positivo do eixo z) e em t=0 a posição é (5,0,5).

Resposta

A curva é uma circunferência de raio 5 no plano z=5, centrada em (0,0,5), percorrida no sentido anti-horário para t de 0 a 2\pi.

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