Esboce a curva definida pela função vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
em
, dada por
O conteúdo é geometria de curvas em espaço. Vamos precisar eliminar o parâmetro para achar relações entre
e depois analisar projeções e comportamento para desenhar qualitativamente.
Passo 2
Identificamos primeiro o domínio e a simetria. Como
todos os pontos têm
. Além disso,
, ou seja, o ramo para
repete o de
. Basta então desenhar para
(o sentido de percurso pode ser indicado para
crescendo).
Passo 3
Eliminando
, note que
. Logo
Portanto a curva é exatamente a interseção das superfícies
com
.
Passo 4
Analisando as projeções:
- Na projeção
, temos para : um ramo de parábola. - Na projeção
, temos para : ramo de cúbica. - Na projeção
, usando , obtemos , que também mostra uma curvatura crescente.
Passo 5
Para entender o formato em 3D, veja alguns pontos notáveis:
Logo, a curva parte do ponto origem com velocidade nula (
, cusp), cresce devagar próximo à origem e depois “dispara” nos eixos
e
. Fica toda no primeiro octante, subindo acima da parábola em
e da cúbica em
.
Passo 6
Esquematicamente, o esboço é:
— Começa em com cusp (tangente mal definida).
— Acompanha a parábola em , mas levantando em
conforme
.
— Passa em , depois curva-se cada vez mais para cima.
— O sentido é de rumo a
.
— Começa em
— Acompanha a parábola em
— Passa em
— O sentido é de
Resposta
A curva é o conjunto de pontos em
satisfazendo
traçada duas vezes (para
e
), com cusp na origem e passando por
.