Esboce a curva definida pela função vetorial vec{r}(t).
vec{r}(t)=\left(t^{2}, t^{4}, t^{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica \vec r(t) em \mathbb R^3, dada por
\vec r(t) = \bigl(t^2,\;t^4,\;t^6\bigr),\quad t\in\mathbb R.
O conteúdo é geometria de curvas em espaço. Vamos precisar eliminar o parâmetro para achar relações entre x,y,z e depois analisar projeções e comportamento para desenhar qualitativamente.

Passo 2

Identificamos primeiro o domínio e a simetria. Como
x = t^2 \ge 0,
todos os pontos têm x\ge0. Além disso, \vec r(-t)=\vec r(t), ou seja, o ramo para t<0 repete o de t>0. Basta então desenhar para t\ge0 (o sentido de percurso pode ser indicado para t crescendo).

Passo 3

Eliminando t, note que t^2 = x. Logo
y = t^4 = (t^2)^2 = x^2, \qquad z = t^6 = (t^2)^3 = x^3.
Portanto a curva é exatamente a interseção das superfícies
y = x^2 \quad\text{e}\quad z = x^3,
com x\ge0.

Passo 4

Analisando as projeções:
  • Na projeção xy, temos \,y=x^2 para x\ge0: um ramo de parábola.
  • Na projeção xz, temos \,z=x^3 para x\ge0: ramo de cúbica.
  • Na projeção yz, usando x=y^{1/2}, obtemos z=y^{3/2}, que também mostra uma curvatura crescente.

Passo 5

Para entender o formato em 3D, veja alguns pontos notáveis:
t=0\;\Rightarrow\;(0,0,0),\quad t=1\;\Rightarrow\;(1,1,1),\quad t=2\;\Rightarrow\;(4,16,64).
Logo, a curva parte do ponto origem com velocidade nula ( \vec r'(0)=(0,0,0), cusp), cresce devagar próximo à origem e depois “dispara” nos eixos y e z. Fica toda no primeiro octante, subindo acima da parábola em xy e da cúbica em xz.

Passo 6

Esquematicamente, o esboço é:
— Começa em (0,0,0) com cusp (tangente mal definida).
— Acompanha a parábola em xy, mas levantando em z conforme z=x^3.
— Passa em (1,1,1), depois curva-se cada vez mais para cima.
— O sentido é de t=0 rumo a t\to+\infty.

Resposta

A curva é o conjunto de pontos em \mathbb R^3 satisfazendo
y = x^2,\quad z = x^3,\quad x\ge0,
traçada duas vezes (para t>0 e t<0), com cusp na origem e passando por (1,1,1).

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