Esboce a curva definida pela função vetorial vec{r}(t).
vec{r}(t)=\left(t, t, t^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva no espaço dada pela função vetorial \vec r(t) = \bigl(t,\;t,\;t^2 - 4\bigr).
O conteúdo é curvas paramétricas em \mathbb R^3. Para esboçar, vamos:
  1. Encontrar a equação cartesiana da curva,
  2. Identificar em que plano ela se encontra,
  3. Reconhecer sua forma (reta, parábola, etc.),
  4. Descrever vértice, direção e pontos notáveis.

Passo 2

Da parametrização temos
x(t) = t,\quad y(t) = t,\quad z(t) = t^2 - 4.
Como x = t e y = t, concluímos que
x = y.
Substituindo t = x em z, obtemos a equação cartesiana
z = x^2 - 4.

Passo 3

A equação
x = y,\quad z = x^2 - 4
descreve uma parábola no plano definido por x=y. Esse plano é um plano inclinado que contém a reta y=x,\;z=0. Dentro dele, a curva é uma parábola com equação padrão z = x^2 - 4.

Passo 4

Para esboçar, note que:
  • O vértice da parábola ocorre em x=0, daí (0,0,-4).
  • Quando t = \pm2, temos (x,y,z) = (2,2,0) e (-2,-2,0).
  • Conforme |t| aumenta, z\to +\infty, portanto a parábola abre para cima no eixo z.
  • Em projeção no plano xy, é a reta x=y.

Resposta

A curva é uma parábola no plano x=y, com vértice em (0,0,-4), passando por (2,2,0) e (-2,-2,0), que abre para cima (em direção ao aumento de z).

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