Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=2(1-\sin \theta), \quad \theta \geq 0

Passo 1

O enunciado pede que se esboce a curva dada em coordenadas polares pela equação \;r=2(1-\sin\theta)\; com \theta\geq0.
Informações fornecidas:
  • Equação polar: \;r=2(1-\sin\theta)\;.
  • Domínio indicado: \;\theta\geq0\; (a função é 2\pi-periódica, então basta olhar em [0,2\pi] para um esboço completo).
    O que se pede: desenhar (esboçar) a curva, indicando sua forma e pontos notáveis.

Passo 2

Noções básicas e estratégia para esboçar (aula rápida e prática).
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta) onde \;x=r\cos\theta\; e \;y=r\sin\theta\;.
  • Para esboçar uma curva polar é útil:
    1. Avaliar \;r\; em ângulos-chave (ex.: \;0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi\;) e marcar os pontos correspondentes em x,y.
    2. Verificar onde \;r=0\; (pontos de cúspide ou passagem pela origem).
    3. Verificar máximo de \;r\; e simetrias para desenhar a forma correta.
      Vou aplicar esses passos.

Passo 3

Calcular valores de \;r\; em ângulos-chave e converter para coordenadas cartesianas:
  • Para \theta=0: \;r=2(1-\sin 0)=2(1-0)=2. Em cartesianas: \;x=r\cos\theta=2\cos 0=2,\;y=r\sin\theta=2\sin 0=0. Ponto: (2,0).
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: \;r=2(1-\sin\tfrac{\pi}{2})=2(1-1)=0. Ponto: origem (0,0). Esse é um ponto importante (cúspide).
  • Para \theta=\pi: \;r=2(1-\sin\pi)=2(1-0)=2. Em cartesianas: \;x=2\cos\pi=-2,\;y=2\sin\pi=0. Ponto: (-2,0).
  • Para \theta=\tfrac{3\pi}{2}: \;r=2(1-\sin\tfrac{3\pi}{2})=2(1-(-1))=2\cdot 2=4. Em cartesianas: \;x=4\cos\tfrac{3\pi}{2}=0,\;y=4\sin\tfrac{3\pi}{2}=4(-1)=-4. Ponto: (0,-4).
  • Para \theta=2\pi: \;r=2(1-\sin 2\pi)=2(1-0)=2, que volta a (2,0) (fechamento da curva).
    Observação: esses pontos já sugerem uma figura com cúspide na direção \theta=\tfrac{\pi}{2} (para cima) e extensão máxima para baixo até (0,-4).

Passo 4

Verificação de extremos radiais e monotonicidade (para saber onde o raio cresce/decresce).
Calcular a derivada \dfrac{dr}{d\theta}:
\frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\bigl(2(1-\sin\theta)\bigr) = -2\cos\theta.
Zerando para achar extremos: -2\cos\theta=0\Rightarrow\cos\theta=0\Rightarrow\theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} (no intervalo [0,2\pi]).
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{2}: já vimos \;r=0 (mínimo radial).
  • Em \theta=\tfrac{3\pi}{2}: \;r=4 (máximo radial).
    Isso confirma que o menor raio é 0 (cúspide) e o maior é 4 (na direção \theta=\tfrac{3\pi}{2}, ou seja, para baixo).

Passo 5

Simetrias e período — como isso ajuda no desenho.
  • A função \sin\theta satisfaz \sin(\pi-\theta)=\sin\theta. Portanto
r(\pi-\theta)=2(1-\sin(\pi-\theta))=2(1-\sin\theta)=r(\theta).
Isso implica que os pontos (r(\theta),\theta) e (r(\pi-\theta),\pi-\theta) têm o mesmo r e ângulos simétricos em relação ao eixo vertical, logo a curva é simétrica em relação ao eixo y (eixo vertical).
  • A equação é 2\pi-periódica; para um esboço é suficiente representar \theta\in[0,2\pi].

Passo 6

Mostrar que a curva é um cardioide (liga com a teoria).
Começando de \;r=2(1-\sin\theta)\; e usando \;r^2=x^2+y^2 e \;y=r\sin\theta, com a=2:
r = a\bigl(1-\sin\theta\bigr)\quad\Rightarrow\quad r = a - a\frac{y}{r}.
Multiplicando por r:
r^2 = a r - a y \quad\Rightarrow\quad r^2 + a y = a r.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
\bigl(r^2 + a y\bigr)^2 = a^2 r^2.
Substituindo r^2=x^2+y^2 e a=2, obtemos a equação cartesiana
\bigl(x^2+y^2 + 2y\bigr)^2 = 4(x^2+y^2),
que é a forma cartesiana de um cardioide. (Observação: a etapa de elevar ao quadrado mantém a curva correta aqui porque r\ge0 para todos os \theta nesta equação.)

Passo 7

Pontos adicionais e esboço prático (como desenhar na prova, passo a passo):
  • Pontos já calculados para marcar: \;(2,0),\;( -2,0),\;(0,0) (cúspide em \theta=\tfrac{\pi}{2}), e \;(0,-4) (ponto mais baixo).
  • Alguns pontos intermediários úteis:
    • \theta=\tfrac{\pi}{6}: \sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow r=2(1-\tfrac{1}{2})=1. Coordenadas: x=\cos\tfrac{\pi}{6}\cdot1=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;y=\tfrac{1}{2}.
    • \theta=\tfrac{5\pi}{6}: simetricamente dá r=1 e ponto refletido à esquerda.
  • Traçar a curva: comece em (2,0) quando \theta=0, aproximar-se da origem quando \theta\to\tfrac{\pi}{2} (cúspide), sair da origem para a esquerda até (-2,0) em \theta=\pi, continuar aumentando r em direção ao ponto mais baixo (0,-4) em \theta=\tfrac{3\pi}{2} e retornar a (2,0) em \theta=2\pi. Mantenha a simetria vertical ao desenhar.
    Dica de desenho rápido: marque os pontos notáveis e ligue-os com uma curva lisa em forma de coração invertido (cúspide para cima, “bochechas” laterais e parte mais longa para baixo).

Resposta

Cardioide dada por \;r=2(1-\sin\theta)\;, com cúspide na origem em \theta=\tfrac{\pi}{2}, simétrica em relação ao eixo y. Pontos notáveis: (2,0), (-2,0), cúspide (0,0) em \theta=\tfrac{\pi}{2} e ponto mais baixo (0,-4) em \theta=\tfrac{3\pi}{2}.

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