Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede que se esboce a curva dada em coordenadas polares pela equação
com
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Equação polar:
. - Domínio indicado:
(a função é -periódica, então basta olhar em para um esboço completo).
O que se pede: desenhar (esboçar) a curva, indicando sua forma e pontos notáveis.
Passo 2
Noções básicas e estratégia para esboçar (aula rápida e prática).
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
onde e . - Para esboçar uma curva polar é útil:
- Avaliar
em ângulos-chave (ex.: ) e marcar os pontos correspondentes em . - Verificar onde
(pontos de cúspide ou passagem pela origem). - Verificar máximo de
e simetrias para desenhar a forma correta.
Vou aplicar esses passos.
- Avaliar
Passo 3
Calcular valores de
em ângulos-chave e converter para coordenadas cartesianas:
- Para
: . Em cartesianas: . Ponto: . - Para
: . Ponto: origem . Esse é um ponto importante (cúspide). - Para
: . Em cartesianas: . Ponto: . - Para
: . Em cartesianas: . Ponto: . - Para
: , que volta a (fechamento da curva).
Observação: esses pontos já sugerem uma figura com cúspide na direção(para cima) e extensão máxima para baixo até .
Passo 4
Verificação de extremos radiais e monotonicidade (para saber onde o raio cresce/decresce).
Calcular a derivada :
Calcular a derivada
Zerando para achar extremos:
(no intervalo
).
- Em
: já vimos (mínimo radial). - Em
: (máximo radial).
Isso confirma que o menor raio é(cúspide) e o maior é (na direção , ou seja, para baixo).
Passo 5
Simetrias e período — como isso ajuda no desenho.
- A função
satisfaz . Portanto
Isso implica que os pontos
e
têm o mesmo
e ângulos simétricos em relação ao eixo vertical, logo a curva é simétrica em relação ao eixo
(eixo vertical).
- A equação é
-periódica; para um esboço é suficiente representar .
Passo 6
Mostrar que a curva é um cardioide (liga com a teoria).
Começando de e usando
e
, com
:
Começando de
Multiplicando por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Substituindo
e
, obtemos a equação cartesiana
que é a forma cartesiana de um cardioide. (Observação: a etapa de elevar ao quadrado mantém a curva correta aqui porque
para todos os
nesta equação.)
Passo 7
Pontos adicionais e esboço prático (como desenhar na prova, passo a passo):
- Pontos já calculados para marcar:
(cúspide em ), e (ponto mais baixo). - Alguns pontos intermediários úteis:
-
: . Coordenadas: . -
: simetricamente dá e ponto refletido à esquerda.
-
- Traçar a curva: comece em
quando , aproximar-se da origem quando (cúspide), sair da origem para a esquerda até em , continuar aumentando em direção ao ponto mais baixo em e retornar a em . Mantenha a simetria vertical ao desenhar.
Dica de desenho rápido: marque os pontos notáveis e ligue-os com uma curva lisa em forma de coração invertido (cúspide para cima, “bochechas” laterais e parte mais longa para baixo).
Resposta
Cardioide dada por
, com cúspide na origem em
, simétrica em relação ao eixo
. Pontos notáveis:
,
, cúspide
em
e ponto mais baixo
em
.