Esboce a curva e determine a área da região por ela delimitada.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede o esboço e a área da região fechada por ela. Esse é o clássico caso de uma “rosa” de pétalas, cada uma de comprimento máximo . Para resolver, vamos identificar os intervalos onde surgem as pétalas, esboçar o gráfico qualitativamente e empregar a fórmula de área em coordenadas polares
Passo 2
Para esboçar note que quando , isto é
o que dá três intervalos de largura em , ou seja três arcos de tamanho em . Cada intervalo gera uma pétala. Elas atingem o raio máximo quando
Portanto as pétalas estão centradas em , e , formando uma rosa de três pétalas simetricamente distribuídas.
Passo 3
Vamos calcular a área de uma pétala, escolhendo o primeiro intervalo positivo . Usamos
Aplicando :
Integramos cada parte:
Logo
Apetala=tfracpi3
Passo 4
Como a rosa tem três pétalas idênticas, a área total é
Atotal=3times Apetala =3times tfracpi3 =pi
Resposta
A curva é uma rosa de três pétalas de comprimento máximo 2, e a área da região por ela delimitada é pi.