Esboce a curva e determine a área da região por ela delimitada.
r=2 sen 3 theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 2sin(3theta)
e pede o esboço e a área da região fechada por ela. Esse é o clássico caso de uma “rosa” de n=3 pétalas, cada uma de comprimento máximo a=2. Para resolver, vamos identificar os intervalos onde surgem as pétalas, esboçar o gráfico qualitativamente e empregar a fórmula de área em coordenadas polares
A=tfrac12integral r^2,dtheta

Passo 2

Para esboçar note que r>=0 quando sin(3theta)>=0, isto é
3thetain[0,pi],;[2pi,3pi],;[4pi,5pi],
o que dá três intervalos de largura pi em 3theta, ou seja três arcos de tamanho pi/3 em theta. Cada intervalo gera uma pétala. Elas atingem o raio máximo r=2 quando
sin(3theta)=1Longrightarrow3theta=tfracpi2+2pi k Longrightarrow theta=tfracpi6+tfrac2pi k3,;k=0,1,2
Portanto as pétalas estão centradas em theta=pi/6, theta=5pi/6 e theta=3pi/2, formando uma rosa de três pétalas simetricamente distribuídas.

Passo 3

Vamos calcular a área de uma pétala, escolhendo o primeiro intervalo positivo thetain[0,pi/3]. Usamos
Apetala =tfrac12integral0^pi/3l(2sin(3theta)r)^2,dtheta =tfrac12integral0^pi/34,sin^2(3theta),dtheta =2integral0^pi/3sin^2(3theta),dtheta
Aplicando sin^2u=tfrac1-cos(2u)2:
2integral0^pi/3sin^2(3theta),dtheta =2integral0^pi/3tfrac1-cos(6theta)2,dtheta =integral0^pi/3(1-cos(6theta)),dtheta
Integramos cada parte:
integral0^pi/31,dtheta=tfracpi3, integral0^pi/3cos(6theta),dtheta =tfracsin(6theta)6|0^pi/3 =tfracsin(2pi)-sin06=0
Logo
Apetala=tfracpi3

Passo 4

Como a rosa tem três pétalas idênticas, a área total é
Atotal=3times Apetala =3times tfracpi3 =pi

Resposta

A curva é uma rosa de três pétalas de comprimento máximo 2, e a área da região por ela delimitada é pi.

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