Resolva cada inequação abaixo e represente seu conjunto solução no círculo trigonométrico:
cos x <=-12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
cos x <= -tfrac12
usando conceitos de circunferência trigonométrica. Vamos precisar identificar os ângulos em que cos x=-tfrac12 e, em seguida, determinar em quais arcos da circunferência o cosseno é menor ou igual a -tfrac12.

Passo 2

Para encontrar onde cos x=-tfrac12, lembramos que o valor -tfrac12 ocorre nos pontos simétricos do segundo e terceiro quadrantes. Assim, as soluções da equação
cos x = -tfrac12
são
x = 2pi3 + 2pi k e x = 4pi3 + 2pi k,
com kinZ.

Passo 3

Para saber onde cos x<= -tfrac12, observamos o sinal do cosseno na circunferência trigonométrica:
– No segundo quadrante ( pi2<x<pi) e no terceiro quadrante ( pi<x<tfrac3pi2) o cosseno é negativo.
– Especificamente, entre x=tfrac2pi3 e x=tfrac4pi3 ele atinge valores de -tfrac12 até -1 e volta a -tfrac12. Portanto, em
2pi3<= x<=4pi3
temos cos x<= -tfrac12, dentro de um período 2pi.

Passo 4

Incorporando a periodicidade, a solução geral da inequação é
xin cupkinZ[2pi3+2pi k,;4pi3+2pi k]

Passo 5

No círculo trigonométrico, marcamos os pontos correspondentes a tfrac2pi3 ( 120circ) e tfrac4pi3 ( 240circ) e sombreia-se todo o arco que vai de 120circ a 240circ, incluindo as extremidades. Esse arco representa os valores de x tais que cos x<= -tfrac12.

Resposta

xin cupkinZ[2pi3+2pi k,;4pi3+2pi k]
No círculo trigonométrico, sombreie o arco de tfrac2pi3 a tfrac4pi3 ( 120circ a 240circ), incluindo as extremidades.

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