Esboce a curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
(d) r=1-2 sin theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares por r=1-2sintheta, e antes disso traçar o gráfico de r(theta) em coordenadas cartesianas. O conteúdo envolve curvas em coordenadas polares, reconhecimento de limacon com laço interno e uso de valores de referência de theta.

Passo 2

Para esboçar r(theta)=1-2sintheta, escolhemos pontos-chave de theta no intervalo [0,2pi] e calculamos r:
Montamos a tabela:
theta=0 r=1-2cdot0=1
theta=pi/6 r=1-2cdottfrac12=0
theta=pi/2 r=1-2cdot1=-1
theta=5pi/6 r=1-2cdottfrac12=0
theta=pi r=1-2cdot0=1
theta=3pi/2 r=1-2cdot(-1)=3
theta=2pi r=1-2cdot0=1

Passo 3

Com esses pontos, no plano (theta,r) traçamos o gráfico de r em função de theta: ele começa em 1, desce até zero em pi/6, chega a -1 em pi/2, volta a zero em 5pi/6, sobe a 1 em pi, atinge 3 em 3pi/2 e retorna a 1 em 2pi.
Agora, para esboçar em polares, usamos a regra de que quando r<0, plota-se o ponto invertido em theta+pi. Os arcos onde r<0 estão entre pi/6, gerando o laço interno.

Passo 4

O resultado é um limacon com laço interno simétrico em relação à reta theta=pi/2. O ramo externo ocorre de 5pi/6 até 13pi/6 passando por r=3 em 3pi/2, e o laço interno fecha-se entre pi/6 e 5pi/6.

Resposta

O esboço é o limacon com laço interno dado por r=1-2sintheta, simétrico em torno de theta=pi/2, com zeros em theta=pi/6 e 5pi/6, laço interno para pi/6 e ramo externo para os outros valores de theta.

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