Uma transformação linear sobrejetora pode ter imagem de dimensão menor que a do contradomínio? Justifique.
Autovalores e Autovetores
Passo 1
O enunciado pergunta se uma transformação linear sobrejetora pode ter a imagem de dimensão menor que a do contradomínio. As informações fornecidas são:
- Existe uma transformação linear
. - A transformação
é sobrejetora (surjetora).
A tarefa é justificar se é possível que.
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas (muito importantes para a resposta).
- A transformação
é sobrejetora quando, para todo , existe tal que . Em linguagem de conjuntos, isso significa . - A imagem
é o subconjunto de formado por todos os vetores que aparecem como . - A dimensão de um espaço vetorial,
, é o número de vetores de uma base desse espaço (ou, no caso infinito, o cardinal da base). Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço.
Passo 3
Usando diretamente a definição: se
é sobrejetora então
Se dois espaços vetoriais são exatamente o mesmo conjunto (
e
são idênticos), então qualquer base de
é também uma base de
e vice‑versa. Logo o número de vetores em uma base de
é igual ao número de vetores em uma base de
. Em símbolos,
Portanto não é possível que
seja estritamente menor que
quando
é sobrejetora.
Passo 4
Para reforçar com uma ferramenta padrão da Álgebra Linear (útil em provas), usemos o Teorema do posto-nulidade (para espaços de dimensão finita). Para
com
de dimensão finita vale
Se
é sobrejetora então
. Desta fórmula também vem um corolário prático: se
então não pode existir transformação linear sobrejetora
, porque o posto (rank) de
satisfaz
, impossibilitando
. Isto explica rapidamente porque, por exemplo, não existe mapa linear sobrejetor
.
Passo 5
Observação sobre o caso infinito: se
ou
são de dimensão infinita, a afirmação básica continua válida na forma simples: sobrejetora significa
, portanto as duas têm a mesma dimensão (entendida como cardinalidade de uma base). Não é possível ter
estritamente menor que
porque os espaços são o mesmo conjunto.
Passo 6
Resumo pedagogicamente útil para prova: ao ver uma transformação dita sobrejetora, imediatamente substitua por
. Então compare dimensões: elas são iguais. Em contexto finito, pode-se também usar o posto-nulidade para mostrar condições impossíveis (como
impede sobrejetividade). Isso é rápido e costuma cair em questões objetivas.
Resposta
Não. Se
é sobrejetora então
, logo
, portanto não pode ser menor.