Uma transformação linear sobrejetora pode ter imagem de dimensão menor que a do contradomínio? Justifique.

Autovalores e Autovetores

Passo 1

O enunciado pergunta se uma transformação linear sobrejetora pode ter a imagem de dimensão menor que a do contradomínio. As informações fornecidas são:
  • Existe uma transformação linear T: V \to W.
  • A transformação T é sobrejetora (surjetora).
    A tarefa é justificar se é possível que \dim(\operatorname{Im} T) < \dim(W).

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas (muito importantes para a resposta).
  • A transformação T: V \to W é sobrejetora quando, para todo w\in W, existe v\in V tal que T(v)=w. Em linguagem de conjuntos, isso significa \operatorname{Im} T = W.
  • A imagem \operatorname{Im} T é o subconjunto de W formado por todos os vetores que aparecem como T(v).
  • A dimensão de um espaço vetorial, \dim(\cdot), é o número de vetores de uma base desse espaço (ou, no caso infinito, o cardinal da base). Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço.

Passo 3

Usando diretamente a definição: se T é sobrejetora então
\operatorname{Im} T = W.
Se dois espaços vetoriais são exatamente o mesmo conjunto ( \operatorname{Im} T e W são idênticos), então qualquer base de W é também uma base de \operatorname{Im} T e vice‑versa. Logo o número de vetores em uma base de \operatorname{Im} T é igual ao número de vetores em uma base de W. Em símbolos,
\dim(\operatorname{Im} T)=\dim(W).
Portanto não é possível que \dim(\operatorname{Im} T) seja estritamente menor que \dim(W) quando T é sobrejetora.

Passo 4

Para reforçar com uma ferramenta padrão da Álgebra Linear (útil em provas), usemos o Teorema do posto-nulidade (para espaços de dimensão finita). Para T: V\to W com V de dimensão finita vale
\dim V = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T).
Se T é sobrejetora então \dim(\operatorname{Im} T)=\dim(W). Desta fórmula também vem um corolário prático: se \dim V < \dim W então não pode existir transformação linear sobrejetora T:V\to W, porque o posto (rank) de T satisfaz \dim(\operatorname{Im} T)\le \dim V < \dim W, impossibilitando \operatorname{Im} T = W. Isto explica rapidamente porque, por exemplo, não existe mapa linear sobrejetor \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.

Passo 5

Observação sobre o caso infinito: se V ou W são de dimensão infinita, a afirmação básica continua válida na forma simples: sobrejetora significa \operatorname{Im} T=W, portanto as duas têm a mesma dimensão (entendida como cardinalidade de uma base). Não é possível ter \dim(\operatorname{Im} T) estritamente menor que \dim(W) porque os espaços são o mesmo conjunto.

Passo 6

Resumo pedagogicamente útil para prova: ao ver uma transformação dita sobrejetora, imediatamente substitua por \operatorname{Im} T=W. Então compare dimensões: elas são iguais. Em contexto finito, pode-se também usar o posto-nulidade para mostrar condições impossíveis (como \dim V<\dim W impede sobrejetividade). Isso é rápido e costuma cair em questões objetivas.

Resposta

Não. Se T é sobrejetora então \operatorname{Im} T=W, logo \dim(\operatorname{Im} T)=\dim(W), portanto não pode ser menor.

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