Seja
, calcule sua raiz com precisão
. Use o método da bissecção.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a raiz da função
com precisão
usando o método da bissecção.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - Pede-se uma raiz real (valor de
tal que ) com precisão . - O método indicado para encontrar a raiz é o método da bissecção.
Passo 2
Determinar o domínio da função (quando a raiz faz sentido e a função está definida).
A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo:
Vamos resolver a desigualdade
.
- O numerador
tem o mesmo sinal de . - O denominador
é zero em , positivo para e negativo para .
A fração é não negativa quando numerador e denominador têm mesmo sinal ou o numerador é zero. Logo:
- Se
, o argumento é (permitido). - Para
: numerador positivo e ⇒ fração positiva. - Para
: numerador negativo; para fração ser ≥0, o denominador também tem que ser negativo, isto é ⇒ .
Portanto o domínio real da função é
com exclusão do ponto
(onde o denominador é zero). Em resumo, o domínio é
Passo 3
Analisar o sinal de
no domínio — isto é crucial porque o método da bissecção exige que tenhamos um intervalo
com
(sinal oposto nas extremidades).
Para qualquer
do domínio:
-
para todo . - O termo constante
é positivo. - A raiz quadrada
é por definição não negativa no domínio (é ).
Somando termos positivos e não-negativos, obtemos
A desigualdade é estrita porque
para todo
, então mesmo quando a raiz é
(por exemplo em
) tem-se
.
Conclusão: para todo
no domínio real de
tem-se
. Em particular,
nunca é zero nem muda de sinal (é sempre estritamente positiva).
Passo 4
Implicação para o método da bissecção.
O método da bissecção necessita encontrar um intervalo
tal que
(ou seja,
e
têm sinais opostos). Aqui vimos que
para todo
do domínio, logo não existe par
com
. Portanto não existe intervalo inicial válido para aplicar a bissecção em busca de uma raiz real de
.
Em outras palavras: a equação
não tem solução real, logo o método da bissecção não pode ser usado para encontrar uma raiz (porque não existe raiz).
Passo 5
Breve explicação didática do método da bissecção (para aprender a aplicá-lo quando houver uma raiz e um intervalo de mudança de sinal).
- Condição inicial: escolher
tais que . - Iteração: calcular o ponto médio
. Se (ou suficientemente pequeno) então é a raiz; caso contrário, substituir por se , ou por se . - Critério de parada para precisão em
: parar quando o comprimento do intervalo for menor que a tolerância desejada . O número mínimo de iterações necessário para reduzir o intervalo inicial a uma largura satisfaz
- Exemplo (quando aplicável): se
e , então .
Observação final: no problema em mãos essa técnica não pode ser iniciada porque falta o requisito fundamental
.
Passo 6
Resposta concreta do problema: como a função é estritamente maior que
em todo o seu domínio real, a equação
não tem solução real. Portanto não existe raiz para ser calculada com precisão
pelo método da bissecção.
Se o enunciado que você recebeu tivesse um sinal diferente (por exemplo
), aí sim poderia haver raiz e poderíamos aplicar a bissecção passo a passo. Caso você queira, posso agora resolver esse caso alternativo (com o sinal trocado) usando bissecção e mostrar as iterações até a precisão
.
Resposta
Não existe raiz real:
para todo
do domínio, logo a equação
não tem solução real.