Seja \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{e}^{\mathbf{x}}+\mathbf{2}+\sqrt{\frac{\mathbf{2 x}}{\mathbf{1 + 3 x}}}, calcule sua raiz com precisão 10^{-3}. Use o método da bissecção.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a raiz da função
f(x)=e^{x}+2+\sqrt{\frac{2x}{1+3x}}
com precisão \,10^{-3}\, usando o método da bissecção.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x)=e^{x}+2+\sqrt{\dfrac{2x}{1+3x}}.
  • Pede-se uma raiz real (valor de x tal que f(x)=0) com precisão \,10^{-3}\,.
  • O método indicado para encontrar a raiz é o método da bissecção.

Passo 2

Determinar o domínio da função (quando a raiz faz sentido e a função está definida).
A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo:
\frac{2x}{1+3x}\ge 0,\qquad 1+3x\ne 0.
Vamos resolver a desigualdade \dfrac{2x}{1+3x}\ge 0.
  • O numerador 2x tem o mesmo sinal de x.
  • O denominador 1+3x é zero em x=-\tfrac{1}{3}, positivo para x>-\tfrac{1}{3} e negativo para x<-\tfrac{1}{3}.
A fração é não negativa quando numerador e denominador têm mesmo sinal ou o numerador é zero. Logo:
  • Se x=0, o argumento é 0 (permitido).
  • Para x>0: numerador positivo e 1+3x>0 ⇒ fração positiva.
  • Para x<0: numerador negativo; para fração ser ≥0, o denominador também tem que ser negativo, isto é 1+3x<0 x<-\tfrac{1}{3}.
Portanto o domínio real da função é
\{x\in\mathbb{R}\;|\; x=0\\ \text{ou}\\ x>0\\ \text{ou}\\ x<-\tfrac{1}{3}\},
com exclusão do ponto x=-\tfrac{1}{3} (onde o denominador é zero). Em resumo, o domínio é
(-\infty,-\tfrac{1}{3})\cup\{0\}\cup(0,\infty).

Passo 3

Analisar o sinal de f(x) no domínio — isto é crucial porque o método da bissecção exige que tenhamos um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 (sinal oposto nas extremidades).
Para qualquer x do domínio:
  • e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • O termo constante +2 é positivo.
  • A raiz quadrada \sqrt{\dfrac{2x}{1+3x}} é por definição não negativa no domínio (é \ge 0).
Somando termos positivos e não-negativos, obtemos
f(x)=e^{x}+2+\sqrt{\frac{2x}{1+3x}}>2.
A desigualdade é estrita porque e^{x}>0 para todo x, então mesmo quando a raiz é 0 (por exemplo em x=0) tem-se f(0)=e^{0}+2+0=1+2=3>0.
Conclusão: para todo x no domínio real de f tem-se f(x)>2. Em particular, f(x) nunca é zero nem muda de sinal (é sempre estritamente positiva).

Passo 4

Implicação para o método da bissecção.
O método da bissecção necessita encontrar um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos). Aqui vimos que f(x)>0 para todo x do domínio, logo não existe par a,b com f(a)\cdot f(b)<0. Portanto não existe intervalo inicial válido para aplicar a bissecção em busca de uma raiz real de f.
Em outras palavras: a equação f(x)=0 não tem solução real, logo o método da bissecção não pode ser usado para encontrar uma raiz (porque não existe raiz).

Passo 5

Breve explicação didática do método da bissecção (para aprender a aplicá-lo quando houver uma raiz e um intervalo de mudança de sinal).
  • Condição inicial: escolher a<b tais que f(a)\cdot f(b)<0.
  • Iteração: calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 (ou |f(m)| suficientemente pequeno) então m é a raiz; caso contrário, substituir [a,b] por [a,m] se f(a)\cdot f(m)<0, ou por [m,b] se f(m)\cdot f(b)<0.
  • Critério de parada para precisão em x: parar quando o comprimento do intervalo \dfrac{b-a}{2^n} for menor que a tolerância desejada \varepsilon. O número mínimo de iterações n necessário para reduzir o intervalo inicial [a,b] a uma largura \le \varepsilon satisfaz
n\ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  • Exemplo (quando aplicável): se [a,b]=[1,3] e \varepsilon=10^{-3}, então n\ge\lceil\log_2((3-1)/10^{-3})\rceil=\lceil\log_2(2000)\rceil.
Observação final: no problema em mãos essa técnica não pode ser iniciada porque falta o requisito fundamental f(a)\cdot f(b)<0.

Passo 6

Resposta concreta do problema: como a função é estritamente maior que 2 em todo o seu domínio real, a equação f(x)=0 não tem solução real. Portanto não existe raiz para ser calculada com precisão \,10^{-3} pelo método da bissecção.
Se o enunciado que você recebeu tivesse um sinal diferente (por exemplo f(x)=e^{x}+2-\sqrt{\dfrac{2x}{1+3x}}), aí sim poderia haver raiz e poderíamos aplicar a bissecção passo a passo. Caso você queira, posso agora resolver esse caso alternativo (com o sinal trocado) usando bissecção e mostrar as iterações até a precisão \,10^{-3}.

Resposta

Não existe raiz real: f(x)>2 para todo x do domínio, logo a equação f(x)=0 não tem solução real.

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