Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r^{2}-3 r+2=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada pela equação polar \;r^{2}-3r+2=0\;.
Informações fornecidas: a única equação é \;r^{2}-3r+2=0\;. A variável \;r\; é a coordenada radial na representação polar e a equação não envolve explicitamente \;\theta\;. A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano.

Passo 2

Entendendo o significado de \;r\; em coordenadas polares (mini-aula rápida e essencial).
  • Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por \;(r,\theta)\;, onde \;r\; é a distância do ponto à origem (centro) e \;\theta\; é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • A relação entre coordenadas polares e cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e daí surge a identidade muito útil
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Isso significa que uma equação do tipo \;r=\text{constante}\; representa um círculo centrado na origem com raio igual a essa constante.

Passo 3

Resolver a equação em \;r\; (passo algébrico).
A equação é um polinômio quadrático em \;r\;:
r^{2}-3r+2=0.
Fatorando o polinômio, procuramos dois números que multiplicam para \;2\; e somam para \; -3\;. Esses números são \;-1\; e \;-2\;. Portanto:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2).
Assim as raízes são
r=1\qquad\text{ou}\qquad r=2.

Passo 4

Interpretação geométrica das soluções.
Para qualquer valor de \;\theta\;, as soluções da equação polar são \;r=1\; e \;r=2\;. Como em coordenadas polares \;r=\text{constante}\; dá um círculo centrado na origem, concluímos que a curva é a união de dois círculos concêntricos: um de raio \;1\; e outro de raio \;2\;. Em coordenadas cartesianas, usando \;r^{2}=x^{2}+y^{2}\;, isso corresponde às equações
x^{2}+y^{2}=1
e
x^{2}+y^{2}=4.

Passo 5

Verificação direta (confirmação rápida).
Substituindo \;r=1\; na equação original:
1^{2}-3\cdot 1+2=1-3+2=0,
e substituindo \;r=2\;:
2^{2}-3\cdot 2+2=4-6+2=0.
Ambas satisfazem a equação, então as duas circunferências são realmente parte da solução.

Passo 6

Como esboçar no papel (instruções práticas, passo a passo).
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque a origem.
  2. Com um compasso (ou à mão), trace uma circunferência centrada na origem com raio \;1\; (marque o ponto (1,0) no eixo x).
  3. Trace outra circunferência centrada na origem com raio \;2\; (marque o ponto (2,0)).
  4. Rotule as duas curvas, por exemplo “ r=1” e “ r=2”.
    Observação: para cada ângulo \;\theta\; haverá dois pontos sobre a mesma reta desde a origem (um a distância \;1\; e outro a distância \;2\;), formando assim as duas circunferências completas.

Passo 7

Comentário pedagógico e dica para a prova.
Quando a equação polar é um polinômio em \;r\; sem dependência em \;\theta\;, normalmente o que aparece são círculos concêntricos (cada solução \;r=\text{constante}\; é um círculo). Para equações mais complicadas envolvendo \;\theta\; (por exemplo \;r=a\cos\theta\; ou \;r=a+b\cos\theta\;) surgem circunferências deslocadas ou laços (limaçons). Na prova, sempre tente primeiro resolver algebricamente em \;r\; e depois usar \;r^{2}=x^{2}+y^{2}\; para interpretar geometricamente. Você está indo bem — esse tipo de fatoração é rápido e seguro em prova!

Resposta

União dos círculos \;x^{2}+y^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}=4\;.

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