Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r^{2}-3 r+2=0
r^{2}-3 r+2=0
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada pela equação polar
.
Informações fornecidas: a única equação é . A variável
é a coordenada radial na representação polar e a equação não envolve explicitamente
. A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano.
Informações fornecidas: a única equação é
Passo 2
Entendendo o significado de
em coordenadas polares (mini-aula rápida e essencial).
- Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por
, onde é a distância do ponto à origem (centro) e é o ângulo medido a partir do eixo . - A relação entre coordenadas polares e cartesianas é
e daí surge a identidade muito útil
Isso significa que uma equação do tipo
representa um círculo centrado na origem com raio igual a essa constante.
Passo 3
Resolver a equação em
(passo algébrico).
A equação é um polinômio quadrático em :
A equação é um polinômio quadrático em
Fatorando o polinômio, procuramos dois números que multiplicam para
e somam para
. Esses números são
e
. Portanto:
Assim as raízes são
Passo 4
Interpretação geométrica das soluções.
Para qualquer valor de , as soluções da equação polar são
e
. Como em coordenadas polares
dá um círculo centrado na origem, concluímos que a curva é a união de dois círculos concêntricos: um de raio
e outro de raio
. Em coordenadas cartesianas, usando
, isso corresponde às equações
Para qualquer valor de
e
Passo 5
Verificação direta (confirmação rápida).
Substituindo na equação original:
Substituindo
e substituindo
:
Ambas satisfazem a equação, então as duas circunferências são realmente parte da solução.
Passo 6
Como esboçar no papel (instruções práticas, passo a passo).
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque a origem.
- Com um compasso (ou à mão), trace uma circunferência centrada na origem com raio
(marque o ponto no eixo ). - Trace outra circunferência centrada na origem com raio
(marque o ponto ). - Rotule as duas curvas, por exemplo “
” e “ ”.
Observação: para cada ângulohaverá dois pontos sobre a mesma reta desde a origem (um a distância e outro a distância ), formando assim as duas circunferências completas.
Passo 7
Comentário pedagógico e dica para a prova.
Quando a equação polar é um polinômio em sem dependência em
, normalmente o que aparece são círculos concêntricos (cada solução
é um círculo). Para equações mais complicadas envolvendo
(por exemplo
ou
) surgem circunferências deslocadas ou laços (limaçons). Na prova, sempre tente primeiro resolver algebricamente em
e depois usar
para interpretar geometricamente. Você está indo bem — esse tipo de fatoração é rápido e seguro em prova!
Quando a equação polar é um polinômio em
Resposta
União dos círculos
e
.