Esboce a curva de nível f(x, y)=k com os valores especificado
f(x, y)=y / x,
k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
f(x,y)=yx
correspondentes aos valores
k=-2,,-1,,0,,1,,2
Conteúdo: curvas de nível de funções de duas variáveis. Vamos usar a definição de curva de nível e solucionar a equação f(x,y)=k.

Passo 2

A curva de nível para um dado k é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=k
No nosso caso isso significa
yx=k

Passo 3

Da igualdade yx=k segue
y = kx
Portanto, para cada valor de k a curva de nível é a reta que passa pela origem com coeficiente angular k.

Passo 4

Especificando cada valor de k:
  • Para k=-2: reta y=-2x (inclinação negativa acentuada).
  • Para k=-1: reta y=-x.
  • Para k=0: reta y=0 (eixo x, excluindo x=0 pois f não está definida em x=0).
  • Para k=1: reta y=x.
  • Para k=2: reta y=2x (inclinação positiva acentuada).
Essas retas são abertas no ponto x=0 (exceto que todas passam arbitrariamente perto da origem, mas f não está definida exatamente em x=0).

Resposta

As curvas de nível são as retas
y=-2x, y=-x, y=0, y=x, y=2x,
todas passando pela origem (com o ponto x=0 excluído, pois f não está definida aí).

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