Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
Para todo
Para todo
Passo 1
O enunciado quer analisar se, para todo
, vale a equivalência
O conteúdo aqui é a manipulação de desigualdades envolvendo frações, lembrando que ao multiplicar por uma expressão que pode mudar de sinal devemos cuidar do sentido da desigualdade.
Passo 2
Suponha
. Então
e podemos multiplicar ambos os lados de
por
sem inverter o sinal, obtendo
Logo, para
a desigualdade original é equivalente à forma simplificada.
Passo 3
Suponha
. Então
e, ao multiplicar
por
, o sinal da desigualdade inverte, ficando
Isso é o oposto de
. Portanto, para
não há equivalência.
Passo 4
Concluímos que a bicondicional dada só é verdadeira quando
. Para
ela falha, pois o sinal da desigualdade se inverte ao multiplicar por
.
Resposta
A afirmação é falsa no enunciado geral, pois a equivalência vale apenas para
, não para todo
.