Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
Para todo x neq 2, x^2+x+1x-2>3 Long<=ftrightarrow x^2+x+1>3(x-2)

Passo 1

O enunciado quer analisar se, para todo xneq2, vale a equivalência
x^2+x+1x-2>3 ;Long<=ftrightarrow; x^2+x+1>3(x-2)
O conteúdo aqui é a manipulação de desigualdades envolvendo frações, lembrando que ao multiplicar por uma expressão que pode mudar de sinal devemos cuidar do sentido da desigualdade.

Passo 2

Suponha x>2. Então x-2>0 e podemos multiplicar ambos os lados de
x^2+x+1x-2>3
por x-2 sem inverter o sinal, obtendo
x^2+x+1>3(x-2)
Logo, para x>2 a desigualdade original é equivalente à forma simplificada.

Passo 3

Suponha x<2. Então x-2<0 e, ao multiplicar
x^2+x+1x-2>3
por x-2, o sinal da desigualdade inverte, ficando
x^2+x+1<3(x-2)
Isso é o oposto de x^2+x+1>3(x-2). Portanto, para x<2 não há equivalência.

Passo 4

Concluímos que a bicondicional dada só é verdadeira quando x>2. Para x<2 ela falha, pois o sinal da desigualdade se inverte ao multiplicar por x-2.

Resposta

A afirmação é falsa no enunciado geral, pois a equivalência vale apenas para x>2, não para todo xneq2.

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