Questao 1 - Mostre se as funções, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x \ln (x) e f_{3}(x)-x^{2} \ln (x) sao Linearmente Dejendente out Linearmente Independente. (1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá três funções (vou assumir domínio onde \ln(x) está definido):
f_{1}(x)=x,\qquad f_{2}(x)=x\ln(x),\qquad f_{3}(x)=x^{2}\ln(x),
com domínio assumido (0,\infty). A pergunta é: mostrar se essas funções são linearmente dependentes ou linearmente independentes (ou seja, decidir qual das duas propriedades vale para o conjunto \{f_1,f_2,f_3\} em (0,\infty)).

Passo 2

Definição (explicada devagarinho): as funções \{f_1,f_2,f_3\} são linearmente dependentes se existem constantes a,b,c, nem todas iguais a zero, tais que
a f_1(x)+b f_2(x)+c f_3(x)=0
para todo x no domínio. Se a única solução para essa igualdade (válida para todo x) for a=b=c=0, então as funções são linearmente independentes. Essa é a condição que vamos testar.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear explicitamente, suponha que existam a,b,c\in\mathbb{R} com
a x + b\,x\ln(x) + c\,x^{2}\ln(x)=0
para todo x\in(0,\infty). Nosso objetivo é mostrar que isso implica a=b=c=0 (ou, se houvesse outra solução não trivial, concluir dependência).

Passo 4

Como x>0 no domínio, podemos dividir ambos os lados da igualdade por x sem alterar a validade. Dividindo por x obtemos uma função igual a zero:
a + b\ln(x) + c\,x\ln(x)=0\qquad\text{para todo }x\in(0,\infty).
Definimos
g(x)=a + b\ln(x) + c\,x\ln(x),
então g(x)=0 para todo x\in(0,\infty). Se uma função suave é identicamente zero, suas derivadas também são identicamente zero; vamos usar isso para extrair informação sobre a,b,c.

Passo 5

Calculamos g'(x) passo a passo (lembrando que \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} e \dfrac{d}{dx}(x\ln x)=\ln x +1):
g'(x)=b\cdot\frac{1}{x}+c(\ln x +1)=\frac{b}{x}+c\ln x + c.
Como g(x)\equiv0, deve ocorrer g'(x)\equiv0. Diferenciamos novamente:
g''(x)= -b\cdot\frac{1}{x^{2}} + c\cdot\frac{1}{x} = \frac{c}{x}-\frac{b}{x^{2}}.
Como g''(x)\equiv0 para todo x>0, multiplicamos por x^{2} (positivo) para evitar frações:
x^{2}g''(x)=c x - b = 0\qquad\text{para todo }x\in(0,\infty).

Passo 6

A equação c x - b = 0 para todo x\in(0,\infty) só pode acontecer se os coeficientes que dependem de x desaparecerem. Se c\neq0, a expressão c x - b varia com x e não pode ser sempre zero — portanto deve ocorrer c=0. Com c=0, a igualdade vira -b=0, então b=0. Substituindo b=c=0 em g(x)=a+b\ln x + c x\ln x obtemos g(x)=a. Como g(x)\equiv0, segue a=0. Assim a única solução é a=b=c=0.

Passo 7

Concluímos, pelo argumento acima, que não existe combinação linear não trivial das funções que resulte na função zero em (0,\infty). Portanto as três funções são linearmente independentes em (0,\infty).

Resposta

As funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes no intervalo (0,\infty).

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