Questao 1 - Mostre se as funções,
e
sao Linearmente Dejendente out Linearmente Independente. (1.0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá três funções (vou assumir domínio onde
está definido):
com domínio assumido
. A pergunta é: mostrar se essas funções são linearmente dependentes ou linearmente independentes (ou seja, decidir qual das duas propriedades vale para o conjunto
em
).
Passo 2
Definição (explicada devagarinho): as funções
são linearmente dependentes se existem constantes
, nem todas iguais a zero, tais que
para todo
no domínio. Se a única solução para essa igualdade (válida para todo
) for
, então as funções são linearmente independentes. Essa é a condição que vamos testar.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear explicitamente, suponha que existam
com
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que isso implica
(ou, se houvesse outra solução não trivial, concluir dependência).
Passo 4
Como
no domínio, podemos dividir ambos os lados da igualdade por
sem alterar a validade. Dividindo por
obtemos uma função igual a zero:
Definimos
então
para todo
. Se uma função suave é identicamente zero, suas derivadas também são identicamente zero; vamos usar isso para extrair informação sobre
.
Passo 5
Calculamos
passo a passo (lembrando que
e
):
Como
, deve ocorrer
. Diferenciamos novamente:
Como
para todo
, multiplicamos por
(positivo) para evitar frações:
Passo 6
A equação
para todo
só pode acontecer se os coeficientes que dependem de
desaparecerem. Se
, a expressão
varia com
e não pode ser sempre zero — portanto deve ocorrer
. Com
, a igualdade vira
, então
. Substituindo
em
obtemos
. Como
, segue
. Assim a única solução é
.
Passo 7
Concluímos, pelo argumento acima, que não existe combinação linear não trivial das funções que resulte na função zero em
. Portanto as três funções são linearmente independentes em
.
Resposta
As funções
são linearmente independentes no intervalo
.