Questão 6 - Determine a solução do seguinte sistema de equações diferenciais:(2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais cuja primeira linha está escrita como
ou seja,
Portanto o sistema que vamos resolver é
O que o problema pede: determinar as funções
que satisfazem esse sistema (a solução geral, já que não foram dadas condições iniciais). As informações relevantes são as coeficientes constantes que aparecem nas duas equações: os números
,
e
.]
Passo 2
É prático escrever o sistema em forma matricial. Definimos o vetor desconhecido
e a matriz de coeficientes
O sistema fica então na forma
Explicação didática: escrever assim junta as duas equações num só objeto e permite usar álgebra linear (autovalores e autovetores) para construir soluções do tipo
. Aqui
é um número (autovalor) e
é um vetor não nulo (autovetor) que satisfaz
.]
Passo 3
Para achar autovalores
de
usamos o polinômio característico dado por
. Vamos calcular esse determinante passo a passo.
Calculemos
O determinante é
Passo 4
Expandindo o determinante obtemos o polinômio característico:
Detalhe do cálculo: multiplicando
dá
. Subtraindo
resulta em
.
Passo 5
Agora encontramos os autovalores resolvendo a equação quadrática
O discriminante é
Tomando raiz positiva,
Portanto as raízes são
Chamemos
Observação: são dois autovalores reais distintos, o que facilita — teremos duas soluções independentes exponenciais.
Passo 6
Agora encontramos os autovetores correspondentes. Para
resolvemos
. Usamos a primeira linha:
Calculamos
. Portanto podemos escolher
(escolha conveniente para eliminar denominadores) e obter
Assim um autovetor associado a
é
Explicação: qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor, então escolher
foi apenas para ter entradas mais simples (inteiras/inteiro+radical).]
Passo 7
Para
o procedimento é análogo. Da primeira linha temos
com
. Tomando novamente
fica
Assim um autovetor associado a
é
Passo 8
Com dois autovalores reais distintos e dois autovetores linearmente independentes, a solução geral do sistema matricial é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (serão determinadas apenas se houver condições iniciais). Substituindo
obtemos explicitamente
Passo 9
Escrevendo as componentes
e
em separado temos
Pequena verificação (opcional e pedagógica): multiplicando
ou
confirma
, então
satisfaz
. Por isso a combinação linear acima é solução geral.
Passo 10
Comentário final e ânimo: chegamos à solução geral usando autovalores/autovetores. Sei que o radicais e a álgebra deixam a expressão meio “feia”, mas o procedimento é sempre o mesmo: formar
, achar
, resolver para
, achar autovetores e montar a combinação linear com exponenciais. Dá pra decorar esse roteiro e aplicar rápido em prova — você consegue!