Esboce a curva de nível z=k com os valores especificados de k.
z=y-\ln x ; k=-2,-1,0,1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente trace, no plano xy, as curvas de nível da função de duas variáveis
z = y - \ln x
correspondentes aos valores constantes k=-2,\,-1,\,0,\,1. O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas de nível e propriedades de translação de gráficos de funções de uma única variável.

Passo 2

Por definição, a curva de nível de nível k satisfaz
y - \ln x = k.

Passo 3

Isolando y, obtemos a forma
y = \ln x + k.

Passo 4

Note que cada curva é o gráfico da função x\mapsto \ln x deslocado verticalmente em k unidades. O domínio comum é x>0. Em particular, no ponto x=1 temos
y(1)=\ln(1)+k = k,
ou seja, cada curva passa por \bigl(1,k\bigr).

Passo 5

Analisando comportamento:
– Quando x\to0^+, \ln x\to -\infty e portanto y\to -\infty.
– Quando x\to+\infty, \ln x\to+\infty e y\to+\infty.
Além disso, a concavidade é para baixo (pois a segunda derivada de \ln x é negativa), e cada curva é suave.

Passo 6

Para cada k=-2,-1,0,1 o esboço é:
– a curva y=\ln x -2 passando por (1,-2),
– a curva y=\ln x -1 passando por (1,-1),
– a curva y=\ln x passando por (1,0),
– a curva y=\ln x +1 passando por (1,1).
Elas são todas cópias de y=\ln x, deslocadas para cima conforme o valor de k.

Resposta

As curvas de nível são dadas por
y = \ln x + k,
para k=-2,\,-1,\,0,\,1, ou seja, quatro translações verticais do gráfico de y=\ln x que passam por (1,k).

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