Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente trace, no plano
, as curvas de nível da função de duas variáveis
correspondentes aos valores constantes
. O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas de nível e propriedades de translação de gráficos de funções de uma única variável.
Passo 2
Por definição, a curva de nível de nível
satisfaz
Passo 3
Isolando
, obtemos a forma
Passo 4
Note que cada curva é o gráfico da função
deslocado verticalmente em
unidades. O domínio comum é
. Em particular, no ponto
temos
ou seja, cada curva passa por
.
Passo 5
Analisando comportamento:
– Quando ,
e portanto
.
– Quando ,
e
.
Além disso, a concavidade é para baixo (pois a segunda derivada de é negativa), e cada curva é suave.
– Quando
– Quando
Além disso, a concavidade é para baixo (pois a segunda derivada de
Passo 6
Para cada
o esboço é:
– a curva passando por
,
– a curva passando por
,
– a curva passando por
,
– a curva passando por
.
Elas são todas cópias de , deslocadas para cima conforme o valor de
.
– a curva
– a curva
– a curva
– a curva
Elas são todas cópias de
Resposta
As curvas de nível são dadas por
para
, ou seja, quatro translações verticais do gráfico de
que passam por
.