Esboce a curva de nível
para os valores especificados.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível
da função
para os valores
.
Informações dadas: a função explícita e os quatro valores de
.
O que se pede: encontrar e desenhar, no plano , as curvas formadas pelos pontos
que fazem
para cada
dado.
Informações dadas: a função explícita
O que se pede: encontrar e desenhar, no plano
Passo 2
Definição prática de curva de nível: uma curva de nível para um valor fixo
é o conjunto de pontos
tais que, ao substituir na função, obtemos
. Aqui começamos aplicando isso à expressão dada.
Começamos igualando
ao valor constante
:
Agora isolamos os termos em
e
:
Esta é a equação que descreve a curva de nível correspondente ao valor
.
Passo 3
Interpretação geométrica da equação
: esta é a equação de uma reta no plano
. Para ver isso em forma de inclinação (slope-intercept), resolvemos para
:
Aqui:
- o coeficiente de
é , então a inclinação (slope) da reta é — todas as curvas de nível serão retas decrescentes com mesma inclinação; - o termo
é a ordenada na origem (intercepto quando ).
Os interceptos com os eixos são fáceis de obter:
- intercepto em
(quando ): , - intercepto em
(quando ): .
Portanto, para cada
basta calcular
e a reta será
passando pelos pontos
e
.
Passo 4
Calculamos os valores de
para cada
fornecido e escrevemos a equação da reta correspondente, indicando pontos fáceis para plotar:
- Para
:
reta:
. Pontos fáceis:
e
.
- Para
:
reta:
. Pontos fáceis:
e
.
- Para
:
reta:
. Pontos fáceis:
e
(ou
) — esta passa pela origem.
- Para
:
reta:
. Pontos fáceis:
e
.
Passo 5
Como esboçar na folha (passo a passo prático que você pode fazer na prova):
- Desenha os eixos
e e marca uma escala (por exemplo, unidade igual em ambos os eixos). - Para cada reta acima, plote os dois pontos indicados (por exemplo, para
plote e ). - Trace a reta que passa por esses dois pontos — ela será uma linha reta com inclinação
. - Repita para as quatro retas. Todas serão paralelas entre si (mesma inclinação), deslocadas conforme os valores de
. - Opcional: rotule cada reta com o respectivo valor de
próximo a ela (por exemplo, perto da reta escrita “ ”).
Observação extra (útil para entender espaçamento): a distância perpendicular entre duas retas
e
vale
Assim, as retas não estão necessariamente igualmente espaçadas porque os valores
aqui são
.
Passo 6
Resumo da interpretação: cada curva de nível é uma reta do tipo
com
. Para desenhar, marque os interceptos
e
e una-os. Vai dar certo — você só precisa traçar quatro retas paralelas e rotulá-las. Boa — você já sabe o procedimento para qualquer outro valor de
!