Esboce a curva de nível z=k para os valores especificados.
z=2-x-y ; k=-5,-2,2,5

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível z=k da função z=2-x-y para os valores k=-5,\,-2,\,2,\,5.
Informações dadas: a função explícita \;z=2-x-y\; e os quatro valores de k.
O que se pede: encontrar e desenhar, no plano xy, as curvas formadas pelos pontos (x,y) que fazem z=k para cada k dado.

Passo 2

Definição prática de curva de nível: uma curva de nível para um valor fixo k é o conjunto de pontos (x,y) tais que, ao substituir na função, obtemos z=k. Aqui começamos aplicando isso à expressão dada.
Começamos igualando \;z\; ao valor constante \;k:
2-x-y=k
Agora isolamos os termos em x e y:
x+y=2-k.
Esta é a equação que descreve a curva de nível correspondente ao valor \;k.

Passo 3

Interpretação geométrica da equação \;x+y=2-k\;: esta é a equação de uma reta no plano xy. Para ver isso em forma de inclinação (slope-intercept), resolvemos para y:
y = -(x) + (2-k).
Aqui:
  • o coeficiente de x é -1, então a inclinação (slope) da reta é -1 — todas as curvas de nível serão retas decrescentes com mesma inclinação;
  • o termo (2-k) é a ordenada na origem (intercepto y quando x=0).
Os interceptos com os eixos são fáceis de obter:
  • intercepto em y (quando x=0): y=2-k,
  • intercepto em x (quando y=0): x=2-k.
Portanto, para cada k basta calcular c=2-k e a reta será \;x+y=c\; passando pelos pontos (c,0) e (0,c).

Passo 4

Calculamos os valores de c=2-k para cada k fornecido e escrevemos a equação da reta correspondente, indicando pontos fáceis para plotar:
  • Para k=-5:
c = 2-(-5)=7,
reta: \;x+y=7\;. Pontos fáceis: (7,0) e (0,7).
  • Para k=-2:
c = 2-(-2)=4,
reta: \;x+y=4\;. Pontos fáceis: (4,0) e (0,4).
  • Para k=2:
c = 2-2=0,
reta: \;x+y=0\;. Pontos fáceis: (0,0) e (1,-1) (ou (-1,1)) — esta passa pela origem.
  • Para k=5:
c = 2-5=-3,
reta: \;x+y=-3\;. Pontos fáceis: (-3,0) e (0,-3).

Passo 5

Como esboçar na folha (passo a passo prático que você pode fazer na prova):
  1. Desenha os eixos x e y e marca uma escala (por exemplo, unidade igual em ambos os eixos).
  2. Para cada reta acima, plote os dois pontos indicados (por exemplo, para x+y=7 plote (7,0) e (0,7)).
  3. Trace a reta que passa por esses dois pontos — ela será uma linha reta com inclinação -1.
  4. Repita para as quatro retas. Todas serão paralelas entre si (mesma inclinação), deslocadas conforme os valores de c.
  5. Opcional: rotule cada reta com o respectivo valor de k próximo a ela (por exemplo, perto da reta escrita “ k=-5”).
Observação extra (útil para entender espaçamento): a distância perpendicular entre duas retas \;x+y=c_1\; e \;x+y=c_2\; vale
\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{2}}.
Assim, as retas não estão necessariamente igualmente espaçadas porque os valores c aqui são 7,4,0,-3.

Passo 6

Resumo da interpretação: cada curva de nível é uma reta do tipo \;x+y=c\; com c=2-k. Para desenhar, marque os interceptos (c,0) e (0,c) e una-os. Vai dar certo — você só precisa traçar quatro retas paralelas e rotulá-las. Boa — você já sabe o procedimento para qualquer outro valor de k!

Resposta

k=-5:\\ x+y=7
k=-2:\\ x+y=4
k=2:\\ x+y=0
k=5:\\ x+y=-3

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