Esboce a curva de nível z=k para os valores especificados.
z=4 x^{2}+y^{2} ; k=0,1,3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível z=k da superfície dada por z=4x^{2}+y^{2} para os valores k=0, k=1 e k=3.
Informações dadas: a função é \;z=4x^{2}+y^{2}\; e os valores de nível são \;k\in\{0,1,3\}.
O que se pede: encontrar, interpretar e esboçar no plano xy as curvas definidas por cada equação \;4x^{2}+y^{2}=k.

Passo 2

O que é uma curva de nível (aula rápida)?
Uma curva de nível para um valor \;k é o conjunto de pontos (x,y) no plano tal que a superfície tem altura \;z=k nessa coordenada: isto é, resolver \;4x^{2}+y^{2}=k. Geometricamente é a interseção da superfície com o plano horizontal \;z=k, projetada no plano xy. Para cada k obtemos uma curva (ou ponto) no plano.

Passo 3

Transformação da equação para reconhecer a forma geométrica. Partimos de
4x^{2}+y^{2}=k.
Se \;k>0 podemos dividir por \;k e escrever na forma padrão da elipse:
\frac{x^{2}}{k/4}+\frac{y^{2}}{k}=1.
Recorde: a forma padrão da elipse centrada na origem é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a e b são os semi-eixos ao longo de x e y. Comparando, temos
a^{2}=\frac{k}{4},\qquad b^{2}=k,
portanto
a=\frac{\sqrt{k}}{2},\qquad b=\sqrt{k}.
Isto já nos diz como será a elipse para cada k>0: eixo maior no sentido de y (porque b>a).

Passo 4

Caso \;k=0. Substituindo \;k=0 na equação obtemos
4x^{2}+y^{2}=0.
Como soma de quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, concluímos que x=0 e y=0. Logo, para \;k=0 a “curva de nível” é apenas o ponto (0,0) no plano xy.

Passo 5

Caso \;k=1. Substituindo \;k=1 temos
4x^{2}+y^{2}=1.
Na forma padrão:
\frac{x^{2}}{1/4}+\frac{y^{2}}{1}=1,
ou seja a^{2}=1/4 e b^{2}=1, então
a=\tfrac{1}{2},\qquad b=1.
Pontos-chave da elipse: (\pm\tfrac{1}{2},0) e (0,\pm1). Para esboçar: centro na origem, eixo horizontal de comprimento total 1 (semi-eixo \tfrac{1}{2}) e eixo vertical de comprimento total 2 (semi-eixo 1). A elipse é mais “esticada” na direção y.

Passo 6

Caso \;k=3. Substituindo \;k=3 temos
4x^{2}+y^{2}=3.
Na forma padrão:
\frac{x^{2}}{3/4}+\frac{y^{2}}{3}=1,
logo a^{2}=3/4 e b^{2}=3, ou
a=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad b=\sqrt{3}.
Valores aproximados: a\approx 0{,}866 e b\approx 1{,}732. Pontos principais: (\pm\frac{\sqrt{3}}{2},0) e (0,\pm\sqrt{3}). A elipse é semelhante à do caso k=1 mas maior (escala proporcional a \sqrt{k}).

Passo 7

Comentário geral e dica prática para esboçar no papel:
  • Para cada k>0 desenhe uma elipse centrada na origem com semi-eixos a=\tfrac{\sqrt{k}}{2} (horizontal) e b=\sqrt{k} (vertical).
  • Para k=0 marque apenas o ponto (0,0).
  • Uma forma prática: trace os eixos, marque os pontos (\pm a,0) e (0,\pm b), e desenhe suavemente a elipse que passa por esses quatro pontos. Lembre-se que à medida que k cresce, as elipses crescem como \sqrt{k}.

Resposta

k=0:\;4x^{2}+y^{2}=0\Rightarrow ponto (0,0)\n
k=1:\;4x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow elipse com semi-eixos a=\tfrac{1}{2} (eixo x) e b=1 (eixo y); pontos (\pm\tfrac{1}{2},0),(0,\pm1)\n
k=3:\;4x^{2}+y^{2}=3\Rightarrow elipse com semi-eixos a=\tfrac{\sqrt{3}}{2} (eixo x) e b=\sqrt{3} (eixo y); pontos (\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2},0),(0,\pm\sqrt{3})

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