Esboce a curva de nível
para os valores especificados.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível
da superfície dada por
para os valores
,
e
.
Informações dadas: a função é e os valores de nível são
.
O que se pede: encontrar, interpretar e esboçar no plano as curvas definidas por cada equação
.
Informações dadas: a função é
O que se pede: encontrar, interpretar e esboçar no plano
Passo 2
O que é uma curva de nível (aula rápida)?
Uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos
no plano tal que a superfície tem altura
nessa coordenada: isto é, resolver
. Geometricamente é a interseção da superfície com o plano horizontal
, projetada no plano
. Para cada
obtemos uma curva (ou ponto) no plano.
Uma curva de nível para um valor
Passo 3
Transformação da equação para reconhecer a forma geométrica. Partimos de
Se
podemos dividir por
e escrever na forma padrão da elipse:
Recorde: a forma padrão da elipse centrada na origem é
onde
e
são os semi-eixos ao longo de
e
. Comparando, temos
portanto
Isto já nos diz como será a elipse para cada
: eixo maior no sentido de
(porque
).
Passo 4
Caso
. Substituindo
na equação obtemos
Como soma de quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, concluímos que
e
. Logo, para
a “curva de nível” é apenas o ponto
no plano
.
Passo 5
Caso
. Substituindo
temos
Na forma padrão:
ou seja
e
, então
Pontos-chave da elipse:
e
. Para esboçar: centro na origem, eixo horizontal de comprimento total
(semi-eixo
) e eixo vertical de comprimento total
(semi-eixo
). A elipse é mais “esticada” na direção
.
Passo 6
Caso
. Substituindo
temos
Na forma padrão:
logo
e
, ou
Valores aproximados:
e
. Pontos principais:
e
. A elipse é semelhante à do caso
mas maior (escala proporcional a
).
Passo 7
Comentário geral e dica prática para esboçar no papel:
- Para cada
desenhe uma elipse centrada na origem com semi-eixos (horizontal) e (vertical). - Para
marque apenas o ponto . - Uma forma prática: trace os eixos, marque os pontos
e , e desenhe suavemente a elipse que passa por esses quatro pontos. Lembre-se que à medida que cresce, as elipses crescem como .