Esboce a curva parametrizada no plano:
C=(1+raizt, t^2-4 t): t in[0,5]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva parametrizada
C=l(x(t),y(t))colon tin[0,5]r,
onde
x(t)=1+raizt, y(t)=t^2-4t
O conteúdo aqui é geometria de curvas paramétricas: vamos estudar o comportamento de x(t) e de y(t), identificar pontos críticos e, a partir disso, descrever o traçado no plano.

Passo 2

Analisando x(t)=1+raizt:
  • raizt cresce em t>=0, logo x(t) é estritamente crescente em [0,5].
  • Em t=0, x(0)=1. Em t=5, x(5)=1+raiz5approx1+2,236=3,236.
    Portanto o ponto se desloca sempre para a direita, de x=1 até xapprox3,236.

Passo 3

Analisando y(t)=t^2-4t:
  • Calculamos a derivada
dydt=2t-4,
que se anula em t=2.
  • Para 0<= t<2, 2t-4<0 to y decresce; para 2<t<=5, 2t-4>0 to y cresce.
    Logo y tem um mínimo em t=2.

Passo 4

Calculamos as coordenadas nos pontos-chave:
  • t=0: (x,y) = (1+raiz0,,0^2-4cdot0) = (1,0)
  • t=2: (x,y) = l(1+raiz2,,2^2-4cdot2r) = l(1+raiz2,,-4r) approx(2,414,,-4)
  • t=5: (x,y) = (1+raiz5,,5^2-4cdot5) = l(1+raiz5,,5r) approx(3,236,,5)

Passo 5

Orientação e forma da curva:
  • Começamos em A=(1,0).
  • Conforme t vai de 0 a 2, x aumenta e y diminui até atingir o ponto mínimo B=(1+raiz2,-4).
  • Para t de 2 a 5, x continua aumentando e y agora cresce até o ponto final C=(1+raiz5,5).
    Portanto o esboço é uma “curva em U inclinada à direita”: desce até B e depois sobe até C.

Resposta

O esboço de C é a curva que vai de A=(1,0) para baixo e para a direita até B=(1+raiz2,-4), depois sobe e continua para a direita até C=(1+raiz5,5), com orientação de t=0 em A para t=5 em C.

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