Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede que a gente esboce a região de integração no plano
e depois troque a ordem de integração. O conteúdo é compreensão de regiões em duas variáveis e inversão de ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Para entender a região, extraímos das desigualdades interiores:
Isso significa que a região
é composta por todos os pontos
tais que
varia de
a
e, para cada
,
varia da reta
até a reta vertical
.
Passo 3
Na prática, se escrevemos
como
, as fronteiras são:
-
(eixo ), -
(reta horizontal), -
(reta passando pela origem com inclinação 2), -
(reta vertical).
O polígono é o trapézio cujos vértices são, , e na interseção da reta com .
Passo 4
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. O menor valor de
em
é
(quando
) e o maior é
. Logo
Passo 5
Agora, para cada
fixo em
,
vai de
até a reta
(pois para esse
, todos os
em
satisfazem
, e note que para
temos
). Portanto a integral trocada fica