Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^4 integraly / 2^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral
integraly=0^4integralx=y/2^2f(x,y),dx,dy
e pede que a gente esboce a região de integração no plano xy e depois troque a ordem de integração. O conteúdo é compreensão de regiões em duas variáveis e inversão de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Para entender a região, extraímos das desigualdades interiores:
0<= y<= 4 e y2<= x<= 2
Isso significa que a região R é composta por todos os pontos (x,y) tais que y varia de 0 a 4 e, para cada y, x varia da reta x=y/2 até a reta vertical x=2.

Passo 3

Na prática, se escrevemos x=tfrac y2 como y=2x, as fronteiras são:
  1. y=0 (eixo x),
  2. y=4 (reta horizontal),
  3. y=2x (reta passando pela origem com inclinação 2),
  4. x=2 (reta vertical).
    O polígono é o trapézio cujos vértices são (0,0), (2,0), (2,4) e (0,0) na interseção da reta y=2x com y=4.

Passo 4

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. O menor valor de x em R é x=0 (quando y=0) e o maior é x=2. Logo
0<= x<= 2

Passo 5

Agora, para cada x fixo em [0,2], y vai de y=0 até a reta y=2x (pois para esse x, todos os y em R satisfazem 0<= y<= 2x, e note que para x<=2 temos 2x<=4). Portanto a integral trocada fica
integralx=0^2integraly=0^2xf(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^4integraly/2^2f(x,y),dx,dy = integral0^2integral0^2xf(x,y),dy,dx

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