(2 Pontos) Determine os valores máximos e mínimos locais; e pontos de sela da função
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache os pontos críticos de
e depois classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar o cálculo de derivadas parciais, resolver e em seguida analisar a matriz Hessiana em cada ponto.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de :
Os pontos críticos são soluções do sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação vem
y = 3x^212 = x^24
Da segunda equação vem
-12x + 24y^2 = 0 implies x = 2y^2
Substituindo x=2y^2 em y = x^2/4:
y = (2y^2)^24 = y^4 Longrightarrow y(y^3 - 1)=0
Então y=0 ou y=1.
Se y=0, então x=2cdot0^2=0, ponto crítico (0,0).
Se y=1, então x=2cdot1^2=2, ponto crítico (2,1).
Passo 4
Forme a matriz Hessiana de f:
H(x,y)= fxx & fxy fyx & fyy = 6x & -12 -12 & 48y
Analise em cada ponto:
1. Em (0,0):
H(0,0)=0 & -12 -12 & 0
O determinante é
det H(0,0)=0cdot0 - (-12)^2 = -144 < 0,
logo Hessiana indefinida Rightarrow ponto de sela.