(2 Pontos) Determine os valores máximos e mínimos locais; e pontos de sela da função
f(x, y)=x^3-12 x y+8 y^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache os pontos críticos de
f(x,y)=x^3-12xy+8y^3
e depois classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar o cálculo de derivadas parciais, resolver nabla f=0 e em seguida analisar a matriz Hessiana em cada ponto.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 12y,
fy = partial fpartial y = -12x + 24y^2
Os pontos críticos são soluções do sistema
3x^2 - 12y = 0, -12x + 24y^2 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação vem
y = 3x^212 = x^24
Da segunda equação vem
-12x + 24y^2 = 0 implies x = 2y^2
Substituindo x=2y^2 em y = x^2/4:
y = (2y^2)^24 = y^4 Longrightarrow y(y^3 - 1)=0
Então y=0 ou y=1.
  • Se y=0, então x=2cdot0^2=0, ponto crítico (0,0).
  • Se y=1, então x=2cdot1^2=2, ponto crítico (2,1).

Passo 4

Forme a matriz Hessiana de f:
H(x,y)= fxx & fxy fyx & fyy = 6x & -12 -12 & 48y
Analise em cada ponto:
1. Em (0,0):
H(0,0)=0 & -12 -12 & 0
O determinante é
det H(0,0)=0cdot0 - (-12)^2 = -144 < 0,
logo Hessiana indefinida Rightarrow ponto de sela.
2. Em (2,1):
H(2,1)=6cdot2 & -12 -12 & 48cdot1 =12 & -12 -12 & 48
O determinante é
det H(2,1)=12cdot48 - (-12)^2 =576 -144=432>0
e fxx(2,1)=12>0, logo Hessiana definida positiva Rightarrow mínimo local.
O valor de f em (2,1) é
f(2,1)=2^3 -12cdot2cdot1 +8cdot1^3 =8 -24 +8 = -8

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Mínimo local: (2,1) com f(2,1)=-8.
Não há máximos locais.

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