Esboce a curva parametrizada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o esboço da curva parametrizada por
. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como as coordenadas
e
variam conforme o parâmetro
muda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto
na curva.
Passo 3
Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação direta entre
e
. Sabemos que
, então podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Com essa relação
, percebemos que a curva é uma parábola simples. Mas vamos prestar atenção nos valores que
pode assumir. Como
, e a função cosseno varia entre
e
, temos:
Isso significa que a parábola será desenhada apenas para
nesse intervalo.
Passo 5
Vamos também analisar como
varia. Como
, o valor de
será sempre maior ou igual a zero (
). Assim, a curva ficará acima do eixo
.
Passo 6
Para ter uma ideia melhor, podemos calcular alguns pontos específicos substituindo valores de
:
-
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto:
Passo 7
Com esses pontos, podemos traçar a parábola
entre
e
, passando pelos pontos
,
e
. A curva será simétrica em relação ao eixo
e nunca ficará abaixo do eixo
.
Resposta
O esboço da curva parametrizada por
é uma parábola
desenhada entre
e
, passando pelos pontos
,
e
, simétrica em relação ao eixo
e sempre acima do eixo
.