Esboce a curva parametrizada por r(t)=lang<=cos t, cos ^2 trang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o esboço da curva parametrizada por r(t) = lang<= cos t, cos^2 t rang<=. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como as coordenadas x e y variam conforme o parâmetro t muda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
  • x(t) = cos t
  • y(t) = cos^2 t
Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto (x, y) na curva.

Passo 3

Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação direta entre x e y. Sabemos que x = cos t, então podemos expressar y em termos de x:
y = cos^2 t = x^2

Passo 4

Com essa relação y = x^2, percebemos que a curva é uma parábola simples. Mas vamos prestar atenção nos valores que x pode assumir. Como x = cos t, e a função cosseno varia entre -1 e 1, temos:
-1 <= x <= 1
Isso significa que a parábola será desenhada apenas para x nesse intervalo.

Passo 5

Vamos também analisar como y varia. Como y = x^2, o valor de y será sempre maior ou igual a zero ( y >= 0). Assim, a curva ficará acima do eixo x.

Passo 6

Para ter uma ideia melhor, podemos calcular alguns pontos específicos substituindo valores de t:
  • Quando t = 0:
    x = cos 0 = 1, y = cos^2 0 = 1
    Ponto: (1, 1)
  • Quando t = pi2:
    x = cos pi2 = 0, y = cos^2 pi2 = 0
    Ponto: (0, 0)
  • Quando t = pi:
    x = cos pi = -1, y = cos^2 pi = 1
    Ponto: (-1, 1)
  • Quando t = 3pi2:
    x = cos 3pi2 = 0, y = cos^2 3pi2 = 0
    Ponto: (0, 0)

Passo 7

Com esses pontos, podemos traçar a parábola y = x^2 entre x = -1 e x = 1, passando pelos pontos (1, 1), (0, 0) e (-1, 1). A curva será simétrica em relação ao eixo y e nunca ficará abaixo do eixo x.

Resposta

O esboço da curva parametrizada por r(t) = lang<= cos t, cos^2 t rang<= é uma parábola y = x^2 desenhada entre x = -1 e x = 1, passando pelos pontos (-1, 1), (0, 0) e (1, 1), simétrica em relação ao eixo y e sempre acima do eixo x.

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