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Esboce a curva parametrizada por r(t)=lang<= t^2, t^4rang<=

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema. A gente tem uma curva definida pela função vetorial r(t) = lang<= t^2, t^4 rang<=. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas e como transformar essas expressões para conseguir esboçar a curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da função vetorial. A função r(t) tem duas partes:
  • A componente x: x = t^2
  • A componente y: y = t^4
Isso significa que, para cada valor de t, a curva tem um ponto correspondente no plano com essas coordenadas.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação direta entre x e y. Sabemos que x = t^2, então podemos resolver para t:
t = raizx
Mas, como t é um parâmetro que pode ser positivo ou negativo, na verdade, t^2 = x.
Substituindo essa expressão na equação de y:
y = (t^2)^2 = x^2

Passo 4

A relação que encontramos é y = x^2. Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, com vértice na origem (0,0). Isso significa que a curva parametrizada pela função r(t) é, de fato, uma parábola que se estende para os lados positivos de x.

Resposta

A curva é uma parábola com a equação y = x^2, que se abre para cima a partir da origem.

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