Nos exercícios 15-20, resolva os PVI:
ly^prime prime-6 y^prime+9 y=0 y(0)=0 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valores Iniciais (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 6y' + 9y = 0
Com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é:
y'' + a y' + b y = 0
No nosso caso, a equação é $ y’’ - 6y’ + 9y = 0 $, então:
r^2 + a r + b = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 - 6r + 9 = 0 $. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos pela fatoração:
r^2 - 6r + 9 = 0
Então, a raiz é $ r = 3 $ com multiplicidade 2.

Passo 4

Como temos raízes reais e iguais ($ r = 3 $ repetida), a solução geral da equação diferencial é:
r = 3
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = 0 $:
C1
Então, $ C_1 = 0 $.

Passo 6

Segundo, $ y’(0) = 1 $. Primeiro, vamos calcular $ y’(t) $:
y'(0) = 1
Aplicando a regra do produto para derivar:
y'(t)
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
y(t) = C2 t e^3t
Então, $ C_2 = 1 $.

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = t , e^3t

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