Nos exercícios
, resolva os PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valores Iniciais (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é:
No nosso caso, a equação é $ y’’ - 6y’ + 9y = 0 $, então:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 - 6r + 9 = 0 $. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos pela fatoração:
Então, a raiz é $ r = 3 $ com multiplicidade 2.
Passo 4
Como temos raízes reais e iguais ($ r = 3 $ repetida), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = 0 $:
Então, $ C_1 = 0 $.
Passo 6
Segundo, $ y’(0) = 1 $. Primeiro, vamos calcular $ y’(t) $:
Aplicando a regra do produto para derivar:
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
Então, $ C_2 = 1 $.
Resposta
A solução do PVI é: