Esboce a curva parametrizada por r(t)=lang<=sen^3 t, sen trang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a curva definida por r(t) = lang<=sen^3 t, sen trang<=. Isso está relacionado a curvas parametrizadas, que são um jeito de representar curvas usando uma variável, geralmente t. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as componentes de r(t), ou seja, x(t) = sen^3 t e y(t) = sen t, e então desenhar o gráfico dessa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas separadamente:
x(t) = sen^3 t
y(t) = sen t
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação direta entre x e y. Observando as duas equações, percebemos que y(t) é simplesmente sen t.

Passo 3

Sabendo que y = sen t, podemos substituir isso na equação de x(t):
x = sen^3 t = (sen t)^3 = y^3
Então, a relação entre x e y é x = y^3.

Passo 4

Agora que temos a equação x = y^3, podemos esboçar essa curva. Essa é uma função cúbica que relaciona x com y. Para entender melhor, vamos analisar alguns pontos:
  • Quando y = 0, x = 0.
  • Quando y = 1, x = 1.
  • Quando y = -1, x = -1.
  • Para valores de y entre -1 e 1, x varia entre -1 e 1 de forma cúbica.

Passo 5

Vamos plotar alguns pontos para visualizar:
c|c y & x = y^3 hline -1 & -1 -0.5 & -0.125 0 & 0 0.5 & 0.125 1 & 1
Plotando esses pontos no plano cartesiano, veremos que a curva passa pelo ponto de origem e tem simetria ímpar, ou seja, ela é simétrica em relação à origem.

Passo 6

Com base nos pontos e na forma geral da função cúbica x = y^3, podemos desenhar a curva. Ela começará no canto inferior esquerdo, passando pela origem, e indo para o canto superior direito.

Resposta

A curva parametrizada por r(t) = lang<=sen^3 t, sen trang<= é uma função cúbica cuja equação é x = y^3. O esboço dessa curva passa pela origem e apresenta simetria em relação à mesma, estendendo-se do canto inferior esquerdo ao superior direito do plano cartesiano.

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