Esboce a curva parametrizada por r(t)=lang<= 1-t, t^2-9rang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica vec r(t)=lang<=1-t,;t^2-9rang<=. O conteúdo aqui é esboço de curvas paramétricas: vamos precisar eliminar o parâmetro para achar a forma cartesiana, estudar formato (vértice, concavidade) e indicar a orientação do traço.

Passo 2

Da definição temos as componentes
x=1-t e y=t^2-9. Da primeira isolamos o parâmetro:
t=1-x
Esse passo é básico para converter de forma paramétrica para cartesiana.

Passo 3

Substituindo t=1-x em y=t^2-9 obtemos
y=(1-x)^2-9=x^2-2x+1-9=x^2-2x-8
Essa é a equação cartesiana: uma parábola de concavidade para cima.

Passo 4

Para entender o formato, vamos achar o vértice e as raízes. A parábola y=x^2-2x-8 tem vértice em x=22=1, logo
vértice (1,-9) é
As raízes vêm de x^2-2x-8=0, ou seja x=4 e x=-2.

Passo 5

Na orientação paramétrica, conforme t aumenta, x=1-t diminui. Ou seja, o ponto vai saindo do ramo direito (valores grandes de x) e indo para o ramo esquerdo. Para esboçar, desenhe a parábola y=x^2-2x-8, marque o vértice (1,-9) e as raízes (4,0), (-2,0), e coloque uma seta apontando da direita para a esquerda conforme cresce t.

Resposta

A curva é a parábola cartesiana
y=x^2-2x-8
com vértice em (1,-9), concavidade para cima, interceptando o eixo x em (4,0) e (-2,0). O traçado é feito da direita para a esquerda à medida que t cresce.

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