Nos exercícios
, resolva os PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Também vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver:
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rt} $:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de $ r $:
Então, as raízes são $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
- De $ 2A = 4 $, temos $ A = 2 $.
- Substituindo $ A = 2 $ na segunda equação: $ 6(2) + 2B = 0 \Rightarrow 12 + 2B = 0 \Rightarrow B = -6 $.
- Substituindo $ A = 2 $ e $ B = -6 $ na terceira equação: $ 2(2) + 3(-6) + 2C = 0 \Rightarrow 4 - 18 + 2C = 0 \Rightarrow -14 + 2C = 0 \Rightarrow C = 7 $.
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Passo 5
Por último, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, calculamos $ y(0) = 0 $:
Agora, calculamos a derivada $ y’(x) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = -1 $:
Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo $ C_2 = 2 $ na Equação 1:
Resposta
A solução do PVI é: