Nos exercícios 15-20, resolva os PVI:
ly^prime prime+3 y^prime+2 y=4 x^2 y(0)=0 y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 3y' + 2y = 4x^2
Além disso, temos condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = -1
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Também vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver:
y'' + 3y' + 2y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rt} $:
y
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de $ r $:
e^rt
Então, as raízes são $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
y'' + 3y' + 2y = 4x^2
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
yp(x)
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
yp'(x) = 2Ax + B
Simplificando:
yp''(x) = 2A
Agrupando termos semelhantes:
yp
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
yp'
Resolvendo o sistema:
  1. De $ 2A = 4 $, temos $ A = 2 $.
  2. Substituindo $ A = 2 $ na segunda equação: $ 6(2) + 2B = 0 \Rightarrow 12 + 2B = 0 \Rightarrow B = -6 $.
  3. Substituindo $ A = 2 $ e $ B = -6 $ na terceira equação: $ 2(2) + 3(-6) + 2C = 0 \Rightarrow 4 - 18 + 2C = 0 \Rightarrow -14 + 2C = 0 \Rightarrow C = 7 $.
Então, a solução particular é:
yp''

Passo 4

Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2x^2 - 6x + 7

Passo 5

Por último, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, calculamos $ y(0) = 0 $:
C1
C2 çã
Agora, calculamos a derivada $ y’(x) $:
y(0) = 0
Aplicamos a condição $ y’(0) = -1 $:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 + 2(0)^2 - 6(0) + 7 Rightarrow 0 = C1 + C2 + 7
C1 + C2 = -7 (Equação 1) çã
Agora, temos o sistema de equações:
y'(x)
Somando as duas equações:
y'(x) = -C1 e^-x - 2C2 e^-2x + 4x - 6
Substituindo $ C_2 = 2 $ na Equação 1:
y'(0) = -1

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = -9 e^-x + 2 e^-2x + 2x^2 - 6x + 7

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