Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
y^prime prime+y=2 x e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + y = 2x e^{x} $. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + y = 0 $. Isso significa que estamos ignorando o termo não homogêneo $ 2x e^{x} $.

Passo 3

A equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
y'' + y = 0
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’ + y = 2x e^{x} $. Para fazer isso, usamos o método de coeficientes indeterminados. Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp(x)
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp'(x) = e^x(Ax + B) + e^xA = e^x(Ax + B + A)

Passo 6

Substituímos $ y_p(x) $, $ y_p’(x) $ e $ y_p’’(x) $ na equação original:
yp(x)
Simplificando:
yp'(x)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ x $:
x
Para o termo constante:
2A = 2 implies A = 1

Passo 8

Com $ A = 1 $ e $ B = -1 $, nossa solução particular é:
A = 1

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) + e^x(x - 1)

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = 2x e^{x} $ é:
y'' + y = 2x e^x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados