Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + y = 2x e^{x} $. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + y = 0 $. Isso significa que estamos ignorando o termo não homogêneo $ 2x e^{x} $.
Passo 3
A equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’ + y = 2x e^{x} $. Para fazer isso, usamos o método de coeficientes indeterminados. Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Passo 6
Substituímos $ y_p(x) $, $ y_p’(x) $ e $ y_p’’(x) $ na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ x $:
Para o termo com $ x $:
Para o termo constante:
Passo 8
Com $ A = 1 $ e $ B = -1 $, nossa solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = 2x e^{x} $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.