Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) que é assim:
y'' - 2y' + y = dfrace^xx^2 y(1) = 0 y'(1) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equação diferencial como a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 2y' + y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação:
y = e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, resolvemos $ r^{2} - 2r + 1 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso é um trinômio quadrado perfeito:
(r - 1)^2 = 0 Rightarrow r = 1
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2x)e^x
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Observamos que o lado direito é $ \dfrac{e{x}}{x{2}} $, que não se parece com a parte homogênea. Isso sugere que devemos usar o método de coeficientes a determinar ou variação de parâmetros. Devido à presença de $ x^{2} $ no denominador, será mais fácil aplicar a variação de parâmetros.
Passo 5
Aplicando o método de variação de parâmetros, sabemos que a solução particular pode ser escrita como:
yp(x) = u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x)
onde $ y_{1}(x) = e^{x} $ e $ y_{2}(x) = x e^{x} $ são as soluções da equação homogênea.
Passo 6
As funções $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são determinadas pelas seguintes fórmulas:
u1(x)
onde $ g(x) = \dfrac{e{x}}{x{2}} $ e $ W $ é o Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $.