Nos exercícios 15-20, resolva os PVI:
ly^prime prime-2 y^prime+y=e^xx^2 y(1)=0 y^prime(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) que é assim:
y'' - 2y' + y = dfrace^xx^2 y(1) = 0 y'(1) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equação diferencial como a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 2y' + y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação:
y = e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, resolvemos $ r^{2} - 2r + 1 = 0 $.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso é um trinômio quadrado perfeito:
(r - 1)^2 = 0 Rightarrow r = 1
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2x)e^x

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Observamos que o lado direito é $ \dfrac{e{x}}{x{2}} $, que não se parece com a parte homogênea. Isso sugere que devemos usar o método de coeficientes a determinar ou variação de parâmetros. Devido à presença de $ x^{2} $ no denominador, será mais fácil aplicar a variação de parâmetros.

Passo 5

Aplicando o método de variação de parâmetros, sabemos que a solução particular pode ser escrita como:
yp(x) = u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x)
onde $ y_{1}(x) = e^{x} $ e $ y_{2}(x) = x e^{x} $ são as soluções da equação homogênea.

Passo 6

As funções $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são determinadas pelas seguintes fórmulas:
u1(x)
onde $ g(x) = \dfrac{e{x}}{x{2}} $ e $ W $ é o Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $.

Passo 7

Calculando o Wronskiano $ W $:

$$
W =
W

W = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & x e^x e^x & (x + 1)e^x = e^x(x + 1)e^x - x e^x cdot e^x = e^2x(x + 1 - x) = e^2x
= e^{x}(x + 1)e^{x} - x e^{x} \cdot e^{x} = e^{2x}(x + 1 - x) = e^{2x}
$$

Passo 8

Agora, calculamos $ u_{1}’(x) $ e $ u_{2}’(x) $:
u1'(x)
u2'(x)

Passo 9

Integrando $ u_{1}’(x) $ e $ u_{2}’(x) $:
u1'(x)
u2'(x)
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 10

Substituindo $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ na expressão de $ y_{p}(x) $:
u1(x)

Passo 11

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2x)e^x - e^x(ln x + 1)
Podemos simplificar:
y(x) = e^x(C1 + C2x - ln x - 1)

Passo 12

Aplicamos agora as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeira condição: $ y(1) = 0 $
C1
Segunda condição: $ y’(1) = 0 $
Primeiro, derivamos $ y(x) $:
C2
y(1) = 0
Aplicando $ x = 1 $:
0 = e^1(C1 + C2 cdot 1 - ln 1 - 1) Rightarrow 0 = e(C1 + C2 - 0 - 1) Rightarrow C1 + C2 = 1
y'(1) = 0

Passo 13

Agora, temos o sistema de equações:
C1 + C2 = 1 C1 + 2C2 = 2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 + 2C2) - (C1 + C2) = 2 - 1 Rightarrow C2 = 1
Substituindo $ C_{2} = 1 $ na primeira equação:
C2 = 1

Resposta

Substituindo $ C_{1} = 0 $ e $ C_{2} = 1 $ na solução geral, temos:
C1 = 0
Então, a solução do PVI é:
C2 = 1

Exercícios relacionados