Esboce a curva parametrizada por r(t)=lang<= 3 t, 1-t, 2+trang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva definida pela função vetorial r(t) = lang<= 3t, 1 - t, 2 + t rang<=. Isso está relacionado a vetores e curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função r(t) se comporta em relação a t e juntar tudo isso para desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da função vetorial:
  • x(t) = 3t
  • y(t) = 1 - t
  • z(t) = 2 + t
Essas funções nos dizem como cada coordenada ( x, y, z) varia com o tempo t.

Passo 3

Vamos descobrir quais são as coordenadas em alguns valores de t para entender melhor a curva. Por exemplo:
  • Para t = 0:
    • x = 0
    • y = 1
    • z = 2
      Então, temos o ponto (0, 1, 2).
  • Para t = 1:
    • x = 3
    • y = 0
    • z = 3
      Então, temos o ponto (3, 0, 3).

Passo 4

Com esses pontos, podemos ver que a curva é uma linha reta que passa por (0, 1, 2) e segue na direção definida pelos vetores que multiplicam t em cada componente. O vetor direção aqui é lang<= 3, -1, 1 rang<=.

Passo 5

Para esboçar a curva, imagine uma linha que começa no ponto (0, 1, 2) e vai na direção do vetor lang<= 3, -1, 1 rang<=. Essa linha se estende infinitamente em ambas as direções, seguindo a trajetória definida pelas equações paramétricas.

Resposta

A curva parametrizada por r(t) = lang<= 3t, 1 - t, 2 + t rang<= é uma linha reta no espaço tridimensional que passa pelo ponto (0, 1, 2) e segue na direção do vetor lang<= 3, -1, 1 rang<=.

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