Esboce a curva polar e diga qual a curva encontrada, para:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a curva dada em coordenadas polares e dizer qual é a curva. A informação fornecida é simplesmente que
para todos os ângulos
(ou seja,
é constante e igual a
).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a relação entre coordenadas polares
e coordenadas cartesianas
. As fórmulas são:
Aqui
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Essas fórmulas nos permitem transformar uma curva polar numa equação em
e
.
Passo 3
Substituímos
nas fórmulas paramétricas:
Essa é uma representação paramétrica do lugar geométrico dos pontos à medida que
varia.
Passo 4
Agora eliminamos o parâmetro
para obter a equação cartesiana. Usamos a identidade trigonométrica
. Substituindo
e
obtemos:
Passo 5
A equação
é a equação clássica de um círculo de centro na origem e raio
. Ou seja, a curva polar
corresponde ao círculo unitário centrado na origem.
Passo 6
Para esboçar na prática: marque os pontos principais obtidos para alguns
:
Conecte esses pontos por uma curva suave: você terá um círculo. À medida que
aumenta de
até
, o ponto percorre esse círculo no sentido anti-horário.
Passo 7
Observações úteis para a prova: como
é positivo e constante, a curva é rodada uma vez quando
varia em qualquer intervalo de comprimento
(por exemplo
). Se você tomar
fora desse intervalo o círculo é percorrido novamente (sobreposição). Para curvas polares, identificar se
depende de
ou não já dá uma pista rápida:
constante
círculo centrado na origem com raio igual a essa constante.
Resposta
Círculo de raio
centrado na origem; equação
.