Esboce a curva polar e diga qual a curva encontrada, para:
r=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a curva dada em coordenadas polares e dizer qual é a curva. A informação fornecida é simplesmente que
r = 1
para todos os ângulos \theta (ou seja, r é constante e igual a 1).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a relação entre coordenadas polares (r,\theta) e coordenadas cartesianas (x,y). As fórmulas são:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Aqui r é a distância do ponto até a origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Essas fórmulas nos permitem transformar uma curva polar numa equação em x e y.

Passo 3

Substituímos r=1 nas fórmulas paramétricas:
x = 1\cdot\cos\theta = \cos\theta
y = 1\cdot\sin\theta = \sin\theta
Essa é uma representação paramétrica do lugar geométrico dos pontos à medida que \theta varia.

Passo 4

Agora eliminamos o parâmetro \theta para obter a equação cartesiana. Usamos a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Substituindo x=\cos\theta e y=\sin\theta obtemos:
x^2+y^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.

Passo 5

A equação \,x^2+y^2=1 é a equação clássica de um círculo de centro na origem e raio 1. Ou seja, a curva polar r=1 corresponde ao círculo unitário centrado na origem.

Passo 6

Para esboçar na prática: marque os pontos principais obtidos para alguns \theta:
\theta=0\Rightarrow (x,y)=(1,0),
\theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,1),
\theta=\pi\Rightarrow (x,y)=(-1,0),
\theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,-1).
Conecte esses pontos por uma curva suave: você terá um círculo. À medida que \theta aumenta de 0 até 2\pi, o ponto percorre esse círculo no sentido anti-horário.

Passo 7

Observações úteis para a prova: como r é positivo e constante, a curva é rodada uma vez quando \theta varia em qualquer intervalo de comprimento 2\pi (por exemplo [0,2\pi)). Se você tomar \theta fora desse intervalo o círculo é percorrido novamente (sobreposição). Para curvas polares, identificar se r depende de \theta ou não já dá uma pista rápida: r= constante \Rightarrow círculo centrado na origem com raio igual a essa constante.

Resposta

Círculo de raio 1 centrado na origem; equação \,x^2+y^2=1.

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