Use o teste da raiz para tentar decidir sobre a convergência de:
Passo 1
O enunciado pede que a gente decida sobre a convergência da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A instrução é usar o teste da raiz para decidir se a série converge ou diverge. Começamos por identificar o termo geral e que iremos aplicar a definição do teste da raiz sobre
.
Passo 2
Vou explicar o teste da raiz de forma bem prática (tipo “receita de prova”): para uma série
definimos
As conclusões são:
- se
, a série converge absolutamente; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Na prática em muitas séries com potências em(por exemplo termos contendo algo elevado a ) o que se faz é calcular e verificar se fica menor que . Agora apliquei essa receita ao nosso .
Passo 3
Vamos calcular a
-ésima raiz de
. Observe que todo matemático preguiçoso (no bom sentido) separa potências por fatores. Para o nosso termo,
Agora simplificamos cada potência:
Portanto
Passo 4
Agora precisamos do limite (ou limsup) quando
de
. Primeiro note que
porque
e
, logo
. Usando isso,
pois
. Portanto
Passo 5
Aplicando o critério explicado no Passo 2: como
, concluímos que a série
converge absolutamente. Na prática, para provas: quando o termo geral pode ser escrito (ou dominado) por algo na forma
com a raiz
-ésima tendendo a um número menor que
, o teste da raiz costuma resolver rapidinho.
Resposta
A série converge absolutamente.