Use o teste da raiz para tentar decidir sobre a convergência de:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{1-3 n}}{4^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente decida sobre a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{1-3 n}}{4^{2 n}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{termo geral }a_n=\frac{n^{1-3 n}}{4^{2 n}}.
A instrução é usar o teste da raiz para decidir se a série converge ou diverge. Começamos por identificar o termo geral e que iremos aplicar a definição do teste da raiz sobre (a_n).

Passo 2

Vou explicar o teste da raiz de forma bem prática (tipo “receita de prova”): para uma série \sum a_n definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
As conclusões são:
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Na prática em muitas séries com potências em n (por exemplo termos contendo algo elevado a n) o que se faz é calcular \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} e verificar se fica menor que 1. Agora apliquei essa receita ao nosso a_n.

Passo 3

Vamos calcular a n-ésima raiz de a_n. Observe que todo matemático preguiçoso (no bom sentido) separa potências por fatores. Para o nosso termo,
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{n^{1-3 n}}{4^{2 n}}} =\frac{\left(n^{1-3n}\right)^{1/n}}{\left(4^{2n}\right)^{1/n}}.
Agora simplificamos cada potência:
\left(n^{1-3n}\right)^{1/n}=n^{(1-3n)/n}=n^{1/n-3},
\left(4^{2n}\right)^{1/n}=4^2=16.
Portanto
\sqrt[n]{a_n}=\frac{n^{1/n-3}}{16}.

Passo 4

Agora precisamos do limite (ou limsup) quando n\to\infty de \sqrt[n]{a_n}. Primeiro note que
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1,
porque n^{1/n}=e^{\frac{\ln n}{n}} e \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0, logo e^0=1. Usando isso,
\lim_{n\to\infty} n^{1/n-3}=\left(\lim_{n\to\infty} n^{1/n}\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty} n^{-3}\right)=1\cdot 0=0,
pois \lim_{n\to\infty} n^{-3}=0. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n-3}}{16}=\frac{0}{16}=0.

Passo 5

Aplicando o critério explicado no Passo 2: como L=0<1, concluímos que a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{1-3 n}}{4^{2 n}} converge absolutamente. Na prática, para provas: quando o termo geral pode ser escrito (ou dominado) por algo na forma (\text{coisa})^n com a raiz n-ésima tendendo a um número menor que 1, o teste da raiz costuma resolver rapidinho.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados