Esboce o gráfico das curvas polares:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da curva polar
.
Informações dadas e limites imediatos que já podemos anotar (sem resolver ainda):
Informações dadas e limites imediatos que já podemos anotar (sem resolver ainda):
- A equação polar é
. - A função
tem valores entre e . - Usualmente desenhamos curvas polares para
variando em para obter a forma completa.
Não vou resolver nada aqui; apenas coloquei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
O que significa desenhar
? Primeiro precisamos lembrar o básico de coordenadas polares: um ponto é dado por
onde
Além disso, propriedades úteis:
. Também é importante lembrar que valores negativos de
são válidos: o ponto
com
é o mesmo que
(ou seja, apontado na direção oposta). Vou usar essas ideias para entender onde a curva fica sobre o papel.
Passo 3
Encontre zeros e extremos (esses são os pontos-chave para esboçar):
- Zeros: resolvemos
. Isso acontece quando , logo
Portanto zeros em
. Estes são os ângulos onde
(a curva passa pela origem nesses
).
- Máximos e mínimos:
atinge quando , isto é
Atinge
quando
, isto é
Portanto os máximos
ocorrem em
e os mínimos
em
.
Passo 4
Faça uma pequena tabela de pontos em
para ver a forma de um “pétala”:
-
. -
. -
. (ponto mais afastado nessa pétala) -
. -
.
Isso mostra que, entree , cresce de até em e volta a em : forma típica de uma pétala com ponta na direção e comprimento máximo .
Passo 5
Estude o que ocorre em
: ali
é negativo. Por exemplo
. Como
é negativo, o ponto
coincide com
. Ou seja, valores negativos de
deslocam o ponto em
radianos na direção, e por isso geram pétalas nas direções opostas. Analisando simetricamente os quatro quadrantes de
veremos quatro pétalas.
Passo 6
Conclua a contagem e direções das pétalas usando periodicidade e os extremos:
- A função
tem período , então a curva se repete a cada de . - Como
é par, a regra geral para rosas diz que temos pétalas quando é par. Aqui , logo temos pétalas. - Já identificamos os ângulos onde ocorre
e onde . Isso nos dá as direções das quatro pétalas: elas ficam centradas nas retas
Cada pétala tem comprimento máximo
(a ponta fica a distância
do polo).
Passo 7
Como desenhar na prática (passo a passo para você fazer à mão na prova):
- Desenhe um sistema de eixos polares (marque alguns raios e círculos concêntricos; marque referência
à direita). - Trace as direções
(as diagonais a , , e ). - Marque a distância
do polo (um círculo de raio 1) — as pontas das pétalas tocarão esse círculo nas direções acima. - Entre
e desenhe uma pétala que sai do polo em , cresce até a ponta em com , e volta ao polo em . Faça a pétala suave, em forma de gota. - Repita o mesmo padrão a cada intervalo de comprimento
(lembrando que sinais negativos de deslocam a pétala em da direção do atual). Ao final você terá quatro pétalas idênticas, simetricamente dispostas nas diagonais.
Dica prática: calcular os pontos em
e usar conexão suave ajuda a ter formato correto.
Passo 8
Interpretação geométrica alternativa (para reforçar a intuição): podemos escrever
porque
e
,
com
. Assim a curva satisfaz
o que não é tão prático para desenhar à mão, mas confirma que a curva é simétrica em relação às retas
e
(as diagonais), consistentes com as pétalas que encontramos.
Resposta
Quatro pétalas (rosa de 4 pétalas), cada pétala com raio máximo
, centradas nas direções
.