Esboce o gráfico das curvas polares:
r=\operatorname{sen}(2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da curva polar r=\operatorname{sen}(2\theta).
Informações dadas e limites imediatos que já podemos anotar (sem resolver ainda):
  • A equação polar é r=\operatorname{sen}(2\theta).
  • A função \operatorname{sen}(2\theta) tem valores entre -1 e 1.
  • Usualmente desenhamos curvas polares para \theta variando em [0,2\pi) para obter a forma completa.
    Não vou resolver nada aqui; apenas coloquei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

O que significa desenhar r=\operatorname{sen}(2\theta)? Primeiro precisamos lembrar o básico de coordenadas polares: um ponto é dado por (r,\theta) onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Além disso, propriedades úteis: \operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta. Também é importante lembrar que valores negativos de r são válidos: o ponto (r,\theta) com r<0 é o mesmo que (-r,\theta+\pi) (ou seja, apontado na direção oposta). Vou usar essas ideias para entender onde a curva fica sobre o papel.

Passo 3

Encontre zeros e extremos (esses são os pontos-chave para esboçar):
  • Zeros: resolvemos \operatorname{sen}(2\theta)=0. Isso acontece quando 2\theta=k\pi, logo
\theta = \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto zeros em \theta=0,\\ \frac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \frac{3\pi}{2},\ldots. Estes são os ângulos onde r=0 (a curva passa pela origem nesses \theta).
  • Máximos e mínimos: \operatorname{sen}(2\theta) atinge +1 quando 2\theta=\frac{\pi}{2}+2\pi k, isto é
\theta = \frac{\pi}{4} + \pi k.
Atinge -1 quando 2\theta=\frac{3\pi}{2}+2\pi k, isto é
\theta = \frac{3\pi}{4} + \pi k.
Portanto os máximos r=+1 ocorrem em \theta=\frac{\pi}{4},\\ \frac{5\pi}{4} e os mínimos r=-1 em \theta=\frac{3\pi}{4},\\ \frac{7\pi}{4}.

Passo 4

Faça uma pequena tabela de pontos em [0,\pi/2] para ver a forma de um “pétala”:
  • \theta=0\Rightarrow r=\operatorname{sen}(0)=0.
  • \theta=\frac{\pi}{8}\Rightarrow r=\operatorname{sen}\big(2\cdot\frac{\pi}{8}\big)=\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • \theta=\frac{\pi}{4}\Rightarrow r=\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1. (ponto mais afastado nessa pétala)
  • \theta=\frac{3\pi}{8}\Rightarrow r=\operatorname{sen}\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • \theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow r=\operatorname{sen}(\pi)=0.
    Isso mostra que, entre \theta=0 e \theta=\frac{\pi}{2}, r cresce de 0 até 1 em \theta=\frac{\pi}{4} e volta a 0 em \theta=\frac{\pi}{2}: forma típica de uma pétala com ponta na direção \theta=\frac{\pi}{4} e comprimento máximo 1.

Passo 5

Estude o que ocorre em \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]: ali \operatorname{sen}(2\theta) é negativo. Por exemplo \theta=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow r=\operatorname{sen}\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1. Como r é negativo, o ponto (r,\theta)=(-1,\tfrac{3\pi}{4}) coincide com (1,\tfrac{3\pi}{4}+\pi)=(1,\tfrac{7\pi}{4}). Ou seja, valores negativos de r deslocam o ponto em \pi radianos na direção, e por isso geram pétalas nas direções opostas. Analisando simetricamente os quatro quadrantes de \theta\in[0,2\pi) veremos quatro pétalas.

Passo 6

Conclua a contagem e direções das pétalas usando periodicidade e os extremos:
  • A função \operatorname{sen}(2\theta) tem período \pi, então a curva se repete a cada \pi de \theta.
  • Como 2 é par, a regra geral para rosas r=\operatorname{sen}(n\theta) diz que temos 2n pétalas quando n é par. Aqui n=2, logo temos 2\cdot 2=4 pétalas.
  • Já identificamos os ângulos onde ocorre r=+1 e onde r=-1. Isso nos dá as direções das quatro pétalas: elas ficam centradas nas retas
\theta=\frac{\pi}{4},\quad \theta=\frac{3\pi}{4},\quad \theta=\frac{5\pi}{4},\quad \theta=\frac{7\pi}{4}.
Cada pétala tem comprimento máximo r_{\max}=1 (a ponta fica a distância 1 do polo).

Passo 7

Como desenhar na prática (passo a passo para você fazer à mão na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos polares (marque alguns raios e círculos concêntricos; marque referência \theta=0 à direita).
  2. Trace as direções \theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4} (as diagonais a 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ e 315^\circ).
  3. Marque a distância r=1 do polo (um círculo de raio 1) — as pontas das pétalas tocarão esse círculo nas direções acima.
  4. Entre \theta=0 e \theta=\frac{\pi}{2} desenhe uma pétala que sai do polo em \theta=0, cresce até a ponta em \theta=\frac{\pi}{4} com r=1, e volta ao polo em \theta=\frac{\pi}{2}. Faça a pétala suave, em forma de gota.
  5. Repita o mesmo padrão a cada intervalo de comprimento \frac{\pi}{2} (lembrando que sinais negativos de r deslocam a pétala em \pi da direção do \theta atual). Ao final você terá quatro pétalas idênticas, simetricamente dispostas nas diagonais.
Dica prática: calcular os pontos em \theta=0,\\ \frac{\pi}{8},\\ \frac{\pi}{4},\\ \frac{3\pi}{8},\\ \frac{\pi}{2} e usar conexão suave ajuda a ter formato correto.

Passo 8

Interpretação geométrica alternativa (para reforçar a intuição): podemos escrever \operatorname{sen}(2\theta)=\dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}} porque \operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta e \operatorname{sen}\theta=\dfrac{y}{r}, \cos\theta=\dfrac{x}{r} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Assim a curva satisfaz
\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}} = 2xy,
o que não é tão prático para desenhar à mão, mas confirma que a curva é simétrica em relação às retas y=x e y=-x (as diagonais), consistentes com as pétalas que encontramos.

Resposta

Quatro pétalas (rosa de 4 pétalas), cada pétala com raio máximo 1, centradas nas direções \theta=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}.

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