Use o teste da raiz para tentar decidir sobre a convergência de:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que usemos o teste da raiz para decidir sobre a convergência.
Informações importantes que o enunciado fornece:
Informações importantes que o enunciado fornece:
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Usar o teste da raiz para decidir.)
Passo 2
Primeiro vamos manipular o termo geral
para deixá-lo numa forma mais simples e óbvia de analisar. Lembre que para potências vale a propriedade
. Aplicando isso ao numerador e ao denominador temos:
e
Substituindo na expressão de
:
Passo 3
Observe que
. Então podemos escrever
Isso mostra claramente que os termos têm forma geométrica em
(com sinal constante negativo). Para aplicar o teste da raiz precisamos do valor de
. Primeiro calculemos
:
Passo 4
Agora vamos lembrar e explicar o teste da raiz (passo didático). Dados os termos
de uma série, definimos
O teste da raiz diz:
- Se
, a série converge absolutamente (e portanto converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
é o valor absoluto do termo geral e
é a enésima raiz do valor absoluto — o teste mede basicamente a taxa exponencial de decaimento (ou crescimento) dos termos.
Passo 5
Calculemos
para o nosso
:
Agora tomamos o limite quando
. Para qualquer constante positiva
vale
. Uma justificativa rápida:
. Aplicando isso a
obtemos
Portanto
Passo 6
Compare o valor encontrado com
. Temos
Pelo teste da raiz (regra do Passo 4), se
a série converge absolutamente. Logo a nossa série converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Passo 7
(Extra — verificação alternativa rápida) Note também, a partir de
, que a série é geometricamente decrescente em módulo com razão
(onde
), o que já garante convergência absoluta. Se quisermos o valor da soma (não pedido, só para treino), a soma a partir de
é
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge), pois
.