Use o teste da raiz para tentar decidir sobre a convergência de:
\sum_{n=4}^{\infty} \frac{(-5)^{1+2 n}}{2^{5 n-3}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=4}^{\infty} \frac{(-5)^{1+2 n}}{2^{5 n-3}}
e pede que usemos o teste da raiz para decidir sobre a convergência.
Informações importantes que o enunciado fornece:
\text{termo geral } a_n=\frac{(-5)^{1+2 n}}{2^{5 n-3}},\qquad n=4,5,6,\dots
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Usar o teste da raiz para decidir.)

Passo 2

Primeiro vamos manipular o termo geral a_n para deixá-lo numa forma mais simples e óbvia de analisar. Lembre que para potências vale a propriedade \,x^{r+s}=x^r x^s. Aplicando isso ao numerador e ao denominador temos:
(-5)^{1+2n}=(-5)\cdot(-5)^{2n}=(-5)\cdot(25)^n
e
2^{5n-3}=2^{5n}\cdot 2^{-3}=2^{5n}\cdot\frac{1}{8}.
Substituindo na expressão de a_n:
a_n=\frac{(-5)\cdot 25^n}{2^{5n-3}} = (-5)\cdot 25^n \cdot \frac{8}{2^{5n}} = -40\cdot\frac{25^n}{2^{5n}}.

Passo 3

Observe que 2^{5n}=(2^5)^n=32^n. Então podemos escrever
a_n = -40\left(\frac{25}{32}\right)^n.
Isso mostra claramente que os termos têm forma geométrica em n (com sinal constante negativo). Para aplicar o teste da raiz precisamos do valor de |a_n|^{1/n}. Primeiro calculemos |a_n|:
|a_n| = 40\left(\frac{25}{32}\right)^n.

Passo 4

Agora vamos lembrar e explicar o teste da raiz (passo didático). Dados os termos a_n de uma série, definimos
L=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
O teste da raiz diz:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (e portanto converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui |a_n| é o valor absoluto do termo geral e |a_n|^{1/n} é a enésima raiz do valor absoluto — o teste mede basicamente a taxa exponencial de decaimento (ou crescimento) dos termos.

Passo 5

Calculemos |a_n|^{1/n} para o nosso a_n:
|a_n|^{1/n} = \left(40\left(\frac{25}{32}\right)^n\right)^{1/n} = 40^{1/n}\cdot\frac{25}{32}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Para qualquer constante positiva C vale \lim_{n\to\infty} C^{1/n}=1. Uma justificativa rápida: C^{1/n}=e^{(\ln C)/n}\to e^0=1. Aplicando isso a 40^{1/n} obtemos
\lim_{n\to\infty}40^{1/n}=1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} = 1\cdot\frac{25}{32} = \frac{25}{32}.

Passo 6

Compare o valor encontrado com 1. Temos
\frac{25}{32}<1.
Pelo teste da raiz (regra do Passo 4), se L<1 a série converge absolutamente. Logo a nossa série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Passo 7

(Extra — verificação alternativa rápida) Note também, a partir de a_n=-40(25/32)^n, que a série é geometricamente decrescente em módulo com razão r=\frac{25}{32} (onde |r|<1), o que já garante convergência absoluta. Se quisermos o valor da soma (não pedido, só para treino), a soma a partir de n=4 é
S=\sum_{n=4}^{\infty} -40\left(\frac{25}{32}\right)^n = -40\left(\frac{25}{32}\right)^4\cdot\frac{1}{1-\tfrac{25}{32}}.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois L=\dfrac{25}{32}<1.

Exercícios relacionados