Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x=2^t-t, y=2^-t+t, -3 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica dada por
x = 2^t - t, y = 2^-t + t, -3 <= t <= 3,
marcando alguns pontos característicos e indicando com uma seta a direção de traçado quando t aumenta.

Passo 2

Escolhemos valores de t que capturem bem o comportamento da curva, por exemplo t=-3,-1,0,1,3, e calculamos (x,y):
t=-3:& x=2^-3-(-3)=tfrac18+3=3,125, y=2^3-3=8-3=5; t=-1:& x=2^-1-(-1)=0,5+1=1,5, y=2^1-1=2-1=1; t=0:& x=1-0=1, y=1+0=1; t=1:& x=2-1=1, y=tfrac12+1=1,5; t=3:& x=8-3=5, y=tfrac18+3=3,125

Passo 3

No plano xy, marquemos os pontos
(3,125,5), (1,5,1), (1,1), (1,1,5) e (5,3,125).
Traçamos eixos com escala uniforme em x e y e colocamos esses pontos com pequenos círculos.
Unimos os pontos em ordem crescente de t por uma curva suave, observando que para t de -3 a -1 a curva desce de (3,125,5) até (1,5,1), depois passa em (1,1), sobe até (1,1,5) e finalmente vai até (5,3,125) quando t=3.

Passo 4

Para indicar a direção de traçado, desenhamos uma seta ao longo da curva apontando de (3,125,5) em direção a (1,5,1), depois passando por (1,1), (1,1,5) até (5,3,125). Essa seta mostra o sentido de aumento de t.

Resposta

O esboço é uma curva suave que começa em (3,125,5) para t=-3, passa sucessivamente pelos pontos (1,5,1), (1,1), (1,1,5) e termina em (5,3,125) para t=3. A seta ao longo da curva aponta nessa direção, indicando o traçado conforme t cresce.

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